Знаменатель правильной дроби на  3 3 больше числителя. Если числитель увеличить на  4 4, а знаменатель на  8 8, то дробь уменьшится на  1 16 . 16 1 ​ . Найди исходную дробь. Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /. Пусть числитель дроби равен  x , x, тогда знаменатель равен . Если числитель увеличить на  4 4, он будет равен . Если знаменатель увеличить на  8 8, он будет равен . Так как новая дробь на  1 16 16 1 ​  меньше, получим уравнение:  x x + 3 − x + 4 x + 11 = x+3 x ​ − x+11 x+4 ​ = . Корни в порядке возрастания:  x 1 = x 1 ​ = ,  x 2 = x 2 ​ = . Если числитель равен  x 1 = x 1 ​ = , то знаменатель равен . Если числитель равен  x 2 = x 2 ​ = , то знаменатель равен .

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти исходную дробь. 1. **Обозначим переменные.** Пусть числитель правильной дроби равен \( x \). Тогда знаменатель, согласно условию, будет равен \( x + 3 \), так как он на 3 больше числителя. 2. **Определим новую дробь.** Если числитель увеличить на 4, он станет равен \( x + 4 \). Если знаменатель увеличить на 8, он станет равен \( (x + 3) + 8 = x + 11 \). Таким образом, новая дробь будет следующей: \[ \frac{x + 4}{x + 11} \] 3. **Сформируем уравнение.** Нам известно, что новая дробь меньше исходной на \( \frac{1}{16} \). Это можно записать как: \[ \frac{x}{x + 3} - \frac{x + 4}{x + 11} = \frac{1}{16} \] 4. **Упрощаем уравнение.** Умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби: \[ 16 \left( \frac{x}{x + 3} - \frac{x + 4}{x + 11} \right) = 1 \] Раскроем скобки, приведем к общему знаменателю и упростим: \[ 16 \frac{x (x + 11) - (x + 4)(x + 3)}{(x + 3)(x + 11)} = 1 \] Поскольку выделяем общий знаменатель: \[ 16 \left( \frac{x^2 + 11x - (x^2 + 3x + 4x + 12)}{(x + 3)(x + 11)} \right) = 1 \] Упрощаем числитель: \[ x^2 + 11x - (x^2 + 7x + 12) = 4x - 12 \] Таким образом, уравнение будет: \[ 16 \frac{4x - 12}{(x + 3)(x + 11)} = 1 \] 5. **Переносим и решаем уравнение.** Переведем уравнение в более удобный вид: \[ 16 (4x - 12) = (x + 3)(x + 11) \] Раскроем правую часть: \[ 64x - 192 = x^2 + 14x + 33 \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 = x^2 - 50x + 225 \] Теперь решим это квадратное уравнение. 6. **Найдем корни уравнения.** Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 2500 - 900 = 1600 \] Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 40}{2} \] Это дает нас два корня: \[ x_1 = \frac{90}{2} = 45, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \] 7. **Находим знаменатели для корней.** Если \( x_1 = 45 \), то знаменатель будет равен: \[ x + 3 = 45 + 3 = 48 \] Если \( x_2 = 5 \), то знаменатель будет равен: \[ x + 3 = 5 + 3 = 8 \] 8. **Запись ответов.** Корни в порядке возрастания: - \( x_1 = 5 \) (знаменатель = 8) - \( x_2 = 45 \) (знаменатель = 48) Таким образом, исходные дроби: - Для \( x_1 = 5: \) \( \frac{5}{8} \) - Для \( x_2 = 45: \) \( \frac{45}{48} = \frac{15}{16} \) (упрощенная форма) Ответ: - Числитель: \( 5 \) - Знаменатель для \( 5: 8 \) - Числитель: \( 45 \) - Знаменатель для \( 45: 48 \) (или \( 16 \) для упрощенной формы)