Знаменатель правильной дроби на 3 3 больше числителя. Если числитель увеличить на 4 4 , а знаменатель на 8 8 , то дробь уменьшится на 1 16 . 16 1 . Найди исходную дробь. Запиши…
Знаменатель правильной дроби на 3 3 больше числителя. Если числитель увеличить на 4 4, а знаменатель на 8 8, то дробь уменьшится на 1 16 . 16 1 . Найди исходную дробь. Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /. Пусть числитель дроби равен x , x, тогда знаменатель равен . Если числитель увеличить на 4 4, он будет равен . Если знаменатель увеличить на 8 8, он будет равен . Так как новая дробь на 1 16 16 1 меньше, получим уравнение: x x + 3 − x + 4 x + 11 = x+3 x − x+11 x+4 = . Корни в порядке возрастания: x 1 = x 1 = , x 2 = x 2 = . Если числитель равен x 1 = x 1 = , то знаменатель равен . Если числитель равен x 2 = x 2 = , то знаменатель равен .
Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти исходную дробь.
Обозначим переменные. Пусть числитель правильной дроби равен \( x \). Тогда знаменатель, согласно условию, будет равен \( x + 3 \), так как он на 3 больше числителя.
Определим новую дробь. Если числитель увеличить на 4, он станет равен \( x + 4 \). Если знаменатель увеличить на 8, он станет равен \( (x + 3) + 8 = x + 11 \).
Таким образом, новая дробь будет следующей: \[ \frac{x + 4}{x + 11} \]
Сформируем уравнение. Нам известно, что новая дробь меньше исходной на \( \frac{1}{16} \). Это можно записать как: \[ \frac{x}{x + 3} - \frac{x + 4}{x + 11} = \frac{1}{16} \]
Упрощаем уравнение. Умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби: \[ 16 \left( \frac{x}{x + 3} - \frac{x + 4}{x + 11} \right) = 1 \]
Раскроем скобки, приведем к общему знаменателю и упростим: \[ 16 \frac{x (x + 11) - (x + 4)(x + 3)}{(x + 3)(x + 11)} = 1 \]
Поскольку выделяем общий знаменатель: \[ 16 \left( \frac{x^2 + 11x - (x^2 + 3x + 4x + 12)}{(x + 3)(x + 11)} \right) = 1 \]
Упрощаем числитель: \[ x^2 + 11x - (x^2 + 7x + 12) = 4x - 12 \]
Таким образом, уравнение будет: \[ 16 \frac{4x - 12}{(x + 3)(x + 11)} = 1 \]
Переносим и решаем уравнение. Переведем уравнение в более удобный вид: \[ 16 (4x - 12) = (x + 3)(x + 11) \]
Раскроем правую часть: \[ 64x - 192 = x^2 + 14x + 33 \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 = x^2 - 50x + 225 \] Теперь решим это квадратное уравнение.
Найдем корни уравнения. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 2500 - 900 = 1600 \]
Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 40}{2} \]
Это дает нас два корня: \[ x_1 = \frac{90}{2} = 45, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \]
Находим знаменатели для корней. Если \( x_1 = 45 \), то знаменатель будет равен: \[ x + 3 = 45 + 3 = 48 \]
Если \( x_2 = 5 \), то знаменатель будет равен: \[ x + 3 = 5 + 3 = 8 \]
Запись ответов. Корни в порядке возрастания:
- \( x_1 = 5 \) (знаменатель = 8)
- \( x_2 = 45 \) (знаменатель = 48)
Таким образом, исходные дроби:
- Для \( x_1 = 5: \) \( \frac{5}{8} \)
- Для \( x_2 = 45: \) \( \frac{45}{48} = \frac{15}{16} \) (упрощенная форма)
Ответ:
- Числитель: \( 5 \)
- Знаменатель для \( 5: 8 \)
- Числитель: \( 45 \)
- Знаменатель для \( 45: 48 \) (или \( 16 \) для упрощенной формы)
