Давайте решим систему уравнений методом сложения. Система выглядит следующим образом:
- ( 7x + 4y = 74 )
- ( 3x + 2y = 32 )
Шаг 1: Подготовим уравнения
Для метода сложения нам нужно сделать так, чтобы коэффициенты перед одной из переменных (в данном случае, (y) или (x)) были одинаковыми, чтобы можно было их сложить и избавиться от одной из переменных.
Мы можем умножить второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты перед (y) совпали:
[
2 \cdot (3x + 2y) = 2 \cdot 32
]
Получаем:
[
6x + 4y = 64 \quad \text{(Уравнение 2 умноженное на 2)}
]
Теперь наша система уравнений выглядит так:
- ( 7x + 4y = 74 )
- ( 6x + 4y = 64 )
Шаг 2: Выразим (y)
Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от (y):
[
(7x + 4y) - (6x + 4y) = 74 - 64
]
Это упрощается до:
[
(7x - 6x) + (4y - 4y) = 10
]
[
x = 10
]
Шаг 3: Найдем (y)
Теперь подставим найденное значение (x) в одно из первоначальных уравнений, например, во второе уравнение:
[
3(10) + 2y = 32
]
[
30 + 2y = 32
]
Теперь вычтем 30 из обеих сторон:
[
2y = 32 - 30
]
[
2y = 2
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
y = 1
]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
[
x = 10, \quad y = 1
]
Проверка
Чтобы убедиться, что мы правильно нашли (x) и (y), мы можем подставить их значения в оба уравнения:
- ( 7(10) + 4(1) = 70 + 4 = 74 ) (первое уравнение верно)
- ( 3(10) + 2(1) = 30 + 2 = 32 ) (второе уравнение тоже верно)
Таким образом, наше решение ( (x, y) = (10, 1) ) является правильным.
