(x+1)²-8≤ (x+3)²
Чтобы решить неравенство \((x+1)^2 - 8 \leq (x+3)^2\), следуем следующему пошаговому процессу:
Шаг 1: Раскроем квадраты
Сначала раскроем оба квадрата в неравенстве:
- \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
- \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
Теперь подставим эти выражения в неравенство:
\[ x^2 + 2x + 1 - 8 \leq x^2 + 6x + 9 \]
Шаг 2: Упростим неравенство
Упростим левую часть:
\[ x^2 + 2x - 7 \leq x^2 + 6x + 9 \]
Теперь вычтем \(x^2\) из обеих сторон:
\[ 2x - 7 \leq 6x + 9 \]
Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону
Теперь перенесем все операции на одну сторону неравенства:
\[ 2x - 6x - 7 - 9 \leq 0 \]
Упрощаем это уравнение:
\[ -4x - 16 \leq 0 \]
Шаг 4: Переносим 16 на правую сторону
Теперь перенесем 16 на правую сторону неравенства:
\[ -4x \leq 16 \]
Шаг 5: Делим на -4
Когда мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:
\[ x \geq -4 \]
Ответ
Таким образом, решение неравенства \((x+1)^2 - 8 \leq (x+3)^2\) — это:
\[ x \geq -4 \]
Проверка
Чтобы убедиться, что наше решение правильное, подставим значения, например \(x = -4\):
\[ (-4+1)^2 - 8 \leq (-4+3)^2 \] \[ (-3)^2 - 8 \leq (-1)^2 \] \[ 9 - 8 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 1 \quad \text{(истинно)} \]
Попробуем также взять значение, меньшее \(-4\), скажем \(x = -5\):
\[ (-5+1)^2 - 8 \leq (-5+3)^2 \] \[ (-4)^2 - 8 \leq (-2)^2 \] \[ 16 - 8 \leq 4 \Rightarrow 8 \leq 4 \quad \text{(ложно)} \]
Наше решение \(x \geq -4\) действительно является правильным.
