На рисунке изображён прямоугольник, состав-ленный из трёх квадратов: двух маленьких и одного большого. Найдите площадь этого прямоу-гольника, если его периметр равен 70 см.
Для решения задачи о прямоугольнике, составленном из трёх квадратов (двух маленьких и одного большого), давайте обозначим:
- a — длина стороны маленького квадрата.
- b — длина стороны большого квадрата.
Согласно условию, периметр прямоугольника равен 70 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
\[ P = 2 \times (ширина + высота) \]
В нашем случае шириной будет сумма сторон двух маленьких квадратов, а высотой — сторона большого квадрата. Таким образом, ширина будет \(2a\), а высота \(b\). Поэтому можем записать:
\[ P = 2 \times (2a + b) \]
Теперь подставим значение периметра в формулу:
\[ 70 = 2 \times (2a + b) \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ 35 = 2a + b \]
Теперь у нас есть одно уравнение. Для дальнейших шагов нам нужно больше информации, но для начала давайте выразим \(b\) через \(a\):
\[ b = 35 - 2a \]
Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
\[ S = ширина \times высота = (2a) \times b \]
Подставите значение \(b\):
\[ S = 2a \times (35 - 2a) \]
Теперь раскроем скобки:
\[ S = 70a - 4a^2 \]
Это выражение описывает площадь прямоугольника в зависимости от длины стороны маленького квадрата \(a\).
Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно исследовать это выражение. Это — квадратичная функция, и максимальное значение достигается в вершине параболы. Вершина квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\) находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -4\) и \(b = 70\):
\[ a_{max} = -\frac{70}{2(-4)} = \frac{70}{8} = 8.75 \]
Теперь подставим \(a = 8.75\) обратно в уравнение для нахождения \(b\):
\[ b = 35 - 2(8.75) = 35 - 17.5 = 17.5 \]
Теперь определим площадь, подставив значения \(a\) и \(b\) в формулу для площади:
\[ S = 2(8.75) \times 17.5 = 17.5 \times 17.5 = 306.25 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь прямоугольника, составленного из трёх квадратов, равна 306.25 см².
