Для решения задачи о прямоугольнике, составленном из трёх квадратов (двух маленьких и одного большого), давайте обозначим:
- a — длина стороны маленького квадрата.
- b — длина стороны большого квадрата.
Согласно условию, периметр прямоугольника равен 70 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
[
P = 2 \times (ширина + высота)
]
В нашем случае шириной будет сумма сторон двух маленьких квадратов, а высотой — сторона большого квадрата. Таким образом, ширина будет (2a), а высота (b). Поэтому можем записать:
[
P = 2 \times (2a + b)
]
Теперь подставим значение периметра в формулу:
[
70 = 2 \times (2a + b)
]
Разделим обе стороны на 2:
[
35 = 2a + b
]
Теперь у нас есть одно уравнение. Для дальнейших шагов нам нужно больше информации, но для начала давайте выразим (b) через (a):
[
b = 35 - 2a
]
Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
[
S = ширина \times высота = (2a) \times b
]
Подставите значение (b):
[
S = 2a \times (35 - 2a)
]
Теперь раскроем скобки:
[
S = 70a - 4a^2
]
Это выражение описывает площадь прямоугольника в зависимости от длины стороны маленького квадрата (a).
Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно исследовать это выражение. Это — квадратичная функция, и максимальное значение достигается в вершине параболы. Вершина квадратичной функции (ax^2 + bx + c) находится по формуле (x = -\frac{b}{2a}), где (a = -4) и (b = 70):
[
a_{max} = -\frac{70}{2(-4)} = \frac{70}{8} = 8.75
]
Теперь подставим (a = 8.75) обратно в уравнение для нахождения (b):
[
b = 35 - 2(8.75) = 35 - 17.5 = 17.5
]
Теперь определим площадь, подставив значения (a) и (b) в формулу для площади:
[
S = 2(8.75) \times 17.5 = 17.5 \times 17.5 = 306.25 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь прямоугольника, составленного из трёх квадратов, равна 306.25 см².
