Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии равна 360, а сумма её первых двадцати четырёх членов равна 624. Сколько положительных трёхзначных чисел содержится в этой…
Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии равна 360, а сумма её первых двадцати четырёх членов равна 624. Сколько положительных трёхзначных чисел содержится в этой прогрессии?
Для решения задачи сначала вспомним, что сумма \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии (АП) определяется по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии,
- \( n \) — количество членов.
Шаг 1: Записываем данные из условия задачи.
Сумма первых 20 членов равна 360: \[ S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 360 \] Упрощаем это уравнение: \[ 10 (2a + 19d) = 360 \] \[ 2a + 19d = 36 \quad \text{(1)} \]
Сумма первых 24 членов равна 624: \[ S_{24} = \frac{24}{2} (2a + 23d) = 624 \] Упрощаем это уравнение: \[ 12 (2a + 23d) = 624 \] \[ 2a + 23d = 52 \quad \text{(2)} \]
Шаг 2: Система уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[ \begin{cases} 2a + 19d = 36 \quad \text{(1)} \\ 2a + 23d = 52 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Шаг 3: Выражаем разность \( d \).
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): \[ (2a + 23d) - (2a + 19d) = 52 - 36 \]
Это упростится до: \[ 4d = 16 \] Следовательно, \[ d = 4 \]
Шаг 4: Находим \( a \).
Подставим \( d \) в уравнение (1): \[ 2a + 19 \cdot 4 = 36 \] \[ 2a + 76 = 36 \] \[ 2a = 36 - 76 \] \[ 2a = -40 \quad \Rightarrow \quad a = -20 \]
Шаг 5: Упрощаем вырази для прогрессии.
Теперь у нас есть первый член \( a = -20 \) и разность \( d = 4 \). Следовательно, \( n \)-ый член прогрессии можно выразить так:
\[ a_n = a + (n - 1)d = -20 + (n - 1) \cdot 4 \] \[ a_n = -20 + 4n - 4 = 4n - 24 \]
Шаг 6: Находим диапазон \( n \).
Чтобы найти трехзначные члены, решим следующие неравенства:
\( 4n - 24 \geq 100 \): \[ 4n \geq 124 \quad \Rightarrow \quad n \geq 31 \]
\( 4n - 24 \leq 999 \): \[ 4n \leq 1023 \quad \Rightarrow \quad n \leq 255.75 \quad \Rightarrow \quad n \leq 255 \]
Шаг 7: Считаем количество трехзначных чисел.
Теперь мы знаем, что \( n \) может принимать значения от 31 до 255.
Количество целых значений \( n \): \[ 255 - 31 + 1 = 225 \]
Таким образом, количество положительных трехзначных чисел в данной арифметической прогрессии равно 225.
