Для решения задачи сначала вспомним, что сумма ( S_n ) первых ( n ) членов арифметической прогрессии (АП) определяется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d)
]
где:
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов,
- ( a ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии,
- ( n ) — количество членов.
Шаг 1: Записываем данные из условия задачи.
Сумма первых 20 членов равна 360:
[
S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 360
]
Упрощаем это уравнение:
[
10 (2a + 19d) = 360
]
[
2a + 19d = 36 \quad \text{(1)}
]
Сумма первых 24 членов равна 624:
[
S_{24} = \frac{24}{2} (2a + 23d) = 624
]
Упрощаем это уравнение:
[
12 (2a + 23d) = 624
]
[
2a + 23d = 52 \quad \text{(2)}
]
Шаг 2: Система уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{cases}
2a + 19d = 36 \quad \text{(1)} \
2a + 23d = 52 \quad \text{(2)}
\end{cases}
]
Шаг 3: Выражаем разность ( d ).
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
[
(2a + 23d) - (2a + 19d) = 52 - 36
]
Это упростится до:
[
4d = 16
]
Следовательно,
[
d = 4
]
Шаг 4: Находим ( a ).
Подставим ( d ) в уравнение (1):
[
2a + 19 \cdot 4 = 36
]
[
2a + 76 = 36
]
[
2a = 36 - 76
]
[
2a = -40 \quad \Rightarrow \quad a = -20
]
Шаг 5: Упрощаем вырази для прогрессии.
Теперь у нас есть первый член ( a = -20 ) и разность ( d = 4 ). Следовательно, ( n )-ый член прогрессии можно выразить так:
[
a_n = a + (n - 1)d = -20 + (n - 1) \cdot 4
]
[
a_n = -20 + 4n - 4 = 4n - 24
]
Шаг 6: Находим диапазон ( n ).
Чтобы найти трехзначные члены, решим следующие неравенства:
( 4n - 24 \geq 100 ):
[
4n \geq 124 \quad \Rightarrow \quad n \geq 31
]
( 4n - 24 \leq 999 ):
[
4n \leq 1023 \quad \Rightarrow \quad n \leq 255.75 \quad \Rightarrow \quad n \leq 255
]
Шаг 7: Считаем количество трехзначных чисел.
Теперь мы знаем, что ( n ) может принимать значения от 31 до 255.
Количество целых значений ( n ):
[
255 - 31 + 1 = 225
]
Таким образом, количество положительных трехзначных чисел в данной арифметической прогрессии равно 225.
