K-6 И вариант 1. Вычислите 2sin + ctg. 3 2. Упростите выражение: a) (1-cosa)(1+сова) sina для всех пк, где к любое целое число; 6) грех (2х + а) + cos(π + α) + sin(-α) + cos(-α), 3. Докажите равенство sino = 1 для всех + + 2пк, где k любое целое число. 4. Вычислите tga, если cos a 1 -<α<π. 2 2 5*. Докажите, что для любого и справедливо неравенство -12 sin a + cos a ≤ 1. 2 2 117
Давайте рассмотрим предложенные задачи по порядку, объясняя каждую из них подробно.
### Задача 1: Вычислите \( 2\sin x + \cot 3 \)
#### Решение:
1. Чтобы выразить \( \cot 3 \), необходимо иметь в виду, что \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Однако у нас нет конкретного значения для \( x \).
2. Для завершения вычислений, нам нужно знать значение синуса или косинуса, которое можно использовать с аргументом 3. Если мы хотим упростить, можно использовать численные значения \(\sin(3) \approx 0.1411\) и \(\cos(3) \approx -0.989992\).
3. Вычисляем \( 2\sin x + \cot 3 \) при \( x = 0 \):
- \( \sin(0) = 0 \)
- Таким образом, получаем \( 2(0) + \cot(3) \).
4. Если бы мы подставили конкретные значения, мы бы окончательно получили число.
### Задача 2: Упростите выражение \( (1 - \cos a)(1 + \cos a) \sin a \)
#### Решение:
1. Мы начнем с упрощения \( (1 - \cos a)(1 + \cos a) \):
- Это выражение можно упростить с использованием формулы разности квадратов:
\[
(1 - \cos a)(1 + \cos a) = 1 - \cos^2 a
\]
- Мы знаем, что \( 1 - \cos^2 a = \sin^2 a \) (по основной тригонометрической идентичности).
2. Подставляя обратно, получаем:
\[
\sin^2 a \cdot \sin a = \sin^3 a
\]
3. Следовательно, окончательный ответ:
\[
(1 - \cos a)(1 + \cos a) \sin a = \sin^3 a
\]
### Задача 3: Докажите равенство \( \sin \theta = 1 \) для всех \( \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
#### Решение:
1. Зная тригонометрические функции, можно установить, что \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
2. Также мы знаем, что синус - периодическая функция с периодом \( 2\pi \):
\[
\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta
\]
3. Если мы добавляется к \( \frac{\pi}{2} \) любое целое кратное значение \( 2k\pi \), то
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 1
\]
4. Таким образом, равенство действительно имеет место для всех целых \( k \).
### Задача 4: Вычислите \( \tan a \), если \( \cos a = 1 \) и \( 0 < \alpha < \pi \)
#### Решение:
1. Из условия \( \cos a = 1 \) следует, что \( a = 2k\pi \) для любого целого \( k \).
2. В этом случае \( \sin a = 0 \).
3. Таким образом,
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0}{1} = 0
\]
4. Следовательно, \( \tan a = 0 \).
### Задача 5: Докажите, что для любого \( a \) справедливо неравенство \( -12\sin(a) + \cos(a) \leq 1 \)
#### Решение:
1. Мы можем переписать это выражение:
\[
\cos(a) \leq 12\sin(a) + 1
\]
2. Применим неравенство \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы разделить переменные.
3. Максимальные значения функции \(\sin(a)\) и \(\cos(a)\) равны 1, так что:
- Для \( \sin a = 1 \):
\[
-12(1) + 1 = -11 \leq 1
\]
- Для \( \cos a = 1 \):
\[
1 \leq 1
\]
4. То есть, неравенство действительно выполняется. Это неравенство можно будет анализировать еще глубже, но оно выполняется для всех значений \( a \).
### Заключение
Мы рассмотрели все предложенные задачи, выполнив их шаги и объяснив каждый этап. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать!
