Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что нам известно:
- Плотность воды ( \rho_v = 1 , \text{г/см}^3 = 1000 , \text{кг/м}^3 ) (так как ( 1 , \text{г/см}^3 = 1000 , \text{кг/м}^3 ))
- Ускорение свободного падения ( g = 10 , \text{Н/кг} )
- Вес тела в воде в 5 раз меньше, чем в вакууме.
Шаг 1: Обозначим величины
- Обозначим вес тела в вакууме как ( W_v ).
- Обозначим вес тела в воде как ( W_w ).
- Обозначим массу тела как ( m ).
- Обозначим плотность тела как ( \rho_t ).
- Обозначим объем тела как ( V ).
Шаг 2: Запишем выражения для веса
Согласно закону Ньютона, вес тела в вакууме вычисляется как:
[
W_v = m \cdot g
]
Когда тело погружено в воду, его вес выражается как:
[
W_w = m \cdot g - F_b
]
где ( F_b ) — это сила Архимеда, равная весу вытесненной воды:
[
F_b = \rho_v \cdot V \cdot g
]
Шаг 3: Установим соотношение весов
По условию задачи, вес в воде в 5 раз меньше, чем в вакууме:
[
W_w = \frac{W_v}{5}
]
Подставим выражения для веса в вакууме и в воде:
[
m \cdot g - \rho_v \cdot V \cdot g = \frac{m \cdot g}{5}
]
Шаг 4: Перепишем уравнение
Упростим уравнение:
[
m \cdot g - \rho_v \cdot V \cdot g = \frac{m \cdot g}{5}
]
Переносим все в одну сторону:
[
m \cdot g - \frac{m \cdot g}{5} = \rho_v \cdot V \cdot g
]
Объединим слагаемые:
[
\left(1 - \frac{1}{5}\right)m \cdot g = \rho_v \cdot V \cdot g
]
[
\frac{4}{5} m \cdot g = \rho_v \cdot V \cdot g
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Так как ( g ) не равно нулю, делим обе стороны на ( g ):
[
\frac{4}{5} m = \rho_v \cdot V
]
Шаг 6: Введем плотность тела
Плотность тела определяется как:
[
\rho_t = \frac{m}{V}
]
Из полученного уравнения выразим ( m ):
[
m = \frac{5}{4} \rho_v \cdot V
]
Теперь подставим это значение массы в формулу плотности тела:
[
\rho_t = \frac{\frac{5}{4} \rho_v \cdot V}{V} = \frac{5}{4} \rho_v
]
Шаг 7: Подставим значение плотности воды
Теперь подставим плотность воды:
[
\rho_t = \frac{5}{4} \cdot 1000 , \text{кг/м}^3 = 1250 , \text{кг/м}^3
]
Ответ
Плотность тела ( \rho_t ) составляет ( 1250 , \text{кг/м}^3 ).
