Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -311, -306, -301, ... .

Для того чтобы найти сумму всех отрицательных членов данной арифметической прогрессии, давайте сначала разберемся с основными элементами прогрессии и с тем, как она устроена.

Шаг 1: Определение элементов прогрессии

Ваша прогрессия начинается с числа -311 и продолжается числами -306, -301 и так далее.

• Это арифметическая прогрессия, где:
  • первый член \( a_1 = -311 \)
  • второй член \( a_2 = -306 \)
  • третий член \( a_3 = -301 \)

Шаг 2: Найдем разность прогрессии

Разность (или шаг) прогрессии вычисляется как разница между двумя последовательными членами.

\[ d = a_2 - a_1 = -306 - (-311) = -306 + 311 = 5 \]

Шаг 3: Обозначение общего члена прогрессии

Общий член арифметической прогрессии можно выразить формулой:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Подставляя значения \( a_1 \) и \( d \):

\[ a_n = -311 + (n-1) \cdot 5 \]

Шаг 4: Условия для отрицательных членов

Поскольку нас интересует сумма всех отрицательных членов этой прогрессии, нам нужно найти, когда \( a_n < 0 \):

\[ -311 + (n-1) \cdot 5 < 0 \]

Решим неравенство:

\[ (n-1) \cdot 5 < 311 \] \[ n-1 < \frac{311}{5} \] \[ n-1 < 62.2 \implies n < 63.2 \]

Это означает, что \( n \) может принимать значения от 1 до 63 (включительно), так как \( n \) - это натуральное число.

Шаг 5: Вычислим сумму

Теперь мы знаем, что последним отрицательным членом будет \( a_{63} \). Посчитаем значение этого члена:

\[ a_{63} = -311 + (63-1) \cdot 5 = -311 + 310 = -1 \]

Теперь нам нужно найти сумму всех членов от \( a_1 \) до \( a_{63} \). Для суммы арифметической прогрессии используется формула:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где:

• \( n = 63 \)
• \( a_1 = -311 \)
• \( a_n = -1 \)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ S_{63} = \frac{63}{2}(-311 + (-1)) = \frac{63}{2} \cdot (-312) \] \[ S_{63} = 63 \cdot (-156) = -9828 \]

Ответ

Сумма всех отрицательных членов данной арифметической прогрессии равна \( -9828 \).