Дана окружность с центром O O . O A OA , O B OB , O C OC − − радиусы этой окружности. Точка B B находится между точками A A и C C . Найди площадь меньшего кругового сектора A O C…
Дана окружность с центром O O. O A OA, O B OB, O C OC − − радиусы этой окружности. Точка B B находится между точками A A и C C. Найди площадь меньшего кругового сектора A O C AOC, если известно, что дуга A B AB равна 6 5 ∘ 65 ∘ , а дуга B C BC − − 5 5 ∘ 55 ∘ . Радиус окружности равен 3 3.
Для того чтобы найти площадь меньшего кругового сектора \( AOC \), нам нужно рассмотреть несколько шагов. Начнем с определения необходимых компонентов.
Шаг 1: Определение угла сектора
Сумма углов:
- Дуга \( AB \) равна \( 65^\circ \).
- Дуга \( BC \) равна \( 55^\circ \).
Угол сектора \( AOC \):
- Угол сектора, соответствующий дуге \( AC \), можно найти, сложив углы дуг \( AB \) и \( BC \), и затем вычтя это значение из полного угла в окружности \( 360^\circ \). \[ \text{Угол } AOC = 360^\circ - (65^\circ + 55^\circ) = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \]
Шаг 2: Площадь сектора
Площадь сектора можно вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где \( \alpha \) — это угол сектора в градусах, \( r \) — радиус окружности.
Подстановка значений:
- Радиус окружности \( r = 3 \).
- Угол сектора \( \alpha = 240^\circ \).
Вычисление: \[ S = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (3)^2 \] \[ = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 9 \] \[ = 6\pi \]
Шаг 3: Определение меньшего сектора
Поскольку круг делится на два сектора: один из которых составляет \( 240^\circ \) и другой составляет \( 120^\circ \) (так как сумма углов в круге \( 360^\circ \)), меньший сектор будет с углом \( 120^\circ \).
Шаг 4: Площадь меньшего сектора
Теперь находим площадь меньшего сектора с углом \( 120^\circ \): \[ S_{меньшего сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (3)^2 \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \] \[ = 3\pi \]
Ответ
Таким образом, площадь меньшего кругового сектора \( AOC \) равна \( 3\pi \) квадратных единиц.
