Дана окружность с центром  O O.  O A OA,  O B OB,  O C OC  − − радиусы этой окружности. Точка  B B находится между точками  A A и  C C. Найди площадь меньшего кругового сектора  A O C AOC, если известно, что дуга  A B AB равна  6 5 ∘ 65 ∘ , а дуга  B C BC  − −  5 5 ∘ 55 ∘ . Радиус окружности равен  3 3.

Для того чтобы найти площадь меньшего кругового сектора \( AOC \), нам нужно рассмотреть несколько шагов. Начнем с определения необходимых компонентов. ### Шаг 1: Определение угла сектора 1. **Сумма углов**: - Дуга \( AB \) равна \( 65^\circ \). - Дуга \( BC \) равна \( 55^\circ \). 2. **Угол сектора \( AOC \)**: - Угол сектора, соответствующий дуге \( AC \), можно найти, сложив углы дуг \( AB \) и \( BC \), и затем вычтя это значение из полного угла в окружности \( 360^\circ \). \[ \text{Угол } AOC = 360^\circ - (65^\circ + 55^\circ) = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \] ### Шаг 2: Площадь сектора Площадь сектора можно вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где \( \alpha \) — это угол сектора в градусах, \( r \) — радиус окружности. 1. **Подстановка значений**: - Радиус окружности \( r = 3 \). - Угол сектора \( \alpha = 240^\circ \). 2. **Вычисление**: \[ S = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (3)^2 \] \[ = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 9 \] \[ = 6\pi \] ### Шаг 3: Определение меньшего сектора Поскольку круг делится на два сектора: один из которых составляет \( 240^\circ \) и другой составляет \( 120^\circ \) (так как сумма углов в круге \( 360^\circ \)), меньший сектор будет с углом \( 120^\circ \). ### Шаг 4: Площадь меньшего сектора Теперь находим площадь меньшего сектора с углом \( 120^\circ \): \[ S_{меньшего сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (3)^2 \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \] \[ = 3\pi \] ### Ответ Таким образом, площадь меньшего кругового сектора \( AOC \) равна \( 3\pi \) квадратных единиц.