Для решения задачи давайте разберемся, как движется камень и сколько метров он пролетает с каждой секундой.
Первый момент: в первой секунде камень падает на 7 метров.
Каждая следующая секунда: на 10 метров больше, чем в предыдущую. Это значит:
- Во 2-й секунде камень пролетит 7 + 10 = 17 метров.
- В 3-й секунде камень пролетит 17 + 10 = 27 метров.
- В 4-й секунде камень пролетит 27 + 10 = 37 метров.
- И так далее.
Таким образом, расстояние, пройденное камнем в каждую секунду, можно представить таким образом:
- 1-я секунда: 7 метров
- 2-я секунда: 17 метров
- 3-я секунда: 27 метров
- 4-я секунда: 37 метров
- n-я секунда: (7 + (n - 1) \times 10)
Теперь давайте посчитаем суммарное расстояние, пройденное камнем за n секунд. Общая формула для суммы метража за каждую секунду будет:
[
S_n = 7 + 17 + 27 + \ldots + (7 + (n - 1) \times 10)
]
Это арифметическая последовательность, в которой первый член (a_1 = 7) и разность (d = 10). Последний член можно записать как:
[
a_n = 7 + (n-1) \times 10 = 7 + 10n - 10 = 10n - 3
]
Количество членов этой последовательности равно (n). Сумма (S_n) n членов арифметической последовательности рассчитывается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (7 + (10n - 3))
]
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (10n + 4) = 5n^2 + 2n
]
Теперь нам нужно узнать, при каком n сумма S_n станет равной 336 метрам (глубина ущелья):
[
5n^2 + 2n = 336
]
Перепишем в стандартной форме:
[
5n^2 + 2n - 336 = 0
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D):
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-336) = 4 + 6720 = 6724
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{6724}}{2 \cdot 5}
]
[
\sqrt{6724} = 82 \implies n = \frac{-2 \pm 82}{10}
]
Теперь нам нужно рассмотреть оба корня:
- (n = \frac{80}{10} = 8)
- (n = \frac{-84}{10}) (негативный корень не рассматриваем)
Таким образом, положительный корень указывает, что камень достигнет дна ущелья за 8 секунд.
Ответ: 8 секунд.
