Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока он не…
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока он не достигнет дна ущелья. За сколько секунд камень достигнет дна ущелья глубиной 336 метров
Для решения задачи давайте разберемся, как движется камень и сколько метров он пролетает с каждой секундой.
Первый момент: в первой секунде камень падает на 7 метров.
Каждая следующая секунда: на 10 метров больше, чем в предыдущую. Это значит:
- Во 2-й секунде камень пролетит 7 + 10 = 17 метров.
- В 3-й секунде камень пролетит 17 + 10 = 27 метров.
- В 4-й секунде камень пролетит 27 + 10 = 37 метров.
- И так далее.
Таким образом, расстояние, пройденное камнем в каждую секунду, можно представить таким образом:
- 1-я секунда: 7 метров
- 2-я секунда: 17 метров
- 3-я секунда: 27 метров
- 4-я секунда: 37 метров
- n-я секунда: \(7 + (n - 1) \times 10\)
Теперь давайте посчитаем суммарное расстояние, пройденное камнем за n секунд. Общая формула для суммы метража за каждую секунду будет:
\[ S_n = 7 + 17 + 27 + \ldots + (7 + (n - 1) \times 10) \]
Это арифметическая последовательность, в которой первый член \(a_1 = 7\) и разность \(d = 10\). Последний член можно записать как:
\[ a_n = 7 + (n-1) \times 10 = 7 + 10n - 10 = 10n - 3 \]
Количество членов этой последовательности равно \(n\). Сумма \(S_n\) n членов арифметической последовательности рассчитывается по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (7 + (10n - 3)) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (10n + 4) = 5n^2 + 2n \]
Теперь нам нужно узнать, при каком n сумма S_n станет равной 336 метрам (глубина ущелья):
\[ 5n^2 + 2n = 336 \]
Перепишем в стандартной форме:
\[ 5n^2 + 2n - 336 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-336) = 4 + 6720 = 6724 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{6724}}{2 \cdot 5} \] \[ \sqrt{6724} = 82 \implies n = \frac{-2 \pm 82}{10} \]
Теперь нам нужно рассмотреть оба корня:
- \(n = \frac{80}{10} = 8\)
- \(n = \frac{-84}{10}\) (негативный корень не рассматриваем)
Таким образом, положительный корень указывает, что камень достигнет дна ущелья за 8 секунд.
Ответ: 8 секунд.
