Укажите, сколько решений имеет система уравнений
Для анализа системы уравнений, давайте рассмотрим каждую из предложенных систем по отдельности.
Системы уравнений:
а) \[ \begin{cases} 5x + y = 10, \\ -x + 5 = y. \end{cases} \]
Решим систему. Подставим второе уравнение во второе:
- \( y = -x + 5 \).
Подставляем во второе уравнение:
\[ 5x + (-x + 5) = 10. \]
Упростим:
\[ 5x - x + 5 = 10 \]
\[ 4x + 5 = 10 \]
\[ 4x = 5 \]
\[ x = \frac{5}{4} \]
Теперь найдем \( y \):
\[ y = -\frac{5}{4} + 5 = \frac{15}{4} \]
Таким образом, система имеет одно решение.
б) \[ \begin{cases} 2y + \frac{x}{2} = 4, \\ \frac{x}{3} + y = 2. \end{cases} \]
Умножим первое уравнение на 2 чтобы избавиться от дробей:
\[ 4y + x = 8 \]
И второе уравнение на 3:
\[ x + 3y = 6 \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} 4y + x = 8, \\ x + 3y = 6. \end{cases} \]
Вычтем из первого второе:
\[ 4y + x - (x + 3y) = 8 - 6 \]
\[ 4y + x - x - 3y = 2 \]
\[ y = 2 \]
Подставим в любое уравнение, например, во второе:
\[ x + 3 \cdot 2 = 6 \]
\[ x + 6 = 6 \]
\[ x = 0 \]
Система имеет одно решение.
в) \[ \begin{cases} y = 3x - 1, \\ y = 3x + 1. \end{cases} \]
Поскольку \( y \) не может одновременно быть равен \( 3x - 1 \) и \( 3x + 1 \), система не имеет решений. Эти прямые параллельны.
г) \[ \begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ x + y = 7. \end{cases} \]
Умножим второе уравнение на 2:
\[ 2x + 2y = 14 \]
Теперь система:
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ 2x + 2y = 14. \end{cases} \]
Вычтем второе из первого:
\[ (5x + 2y) - (2x + 2y) = 10 - 14 \]
\[ 3x = -4 \]
\[ x = -\frac{4}{3} \]
Подставляем в \( x + y = 7 \):
\[ -\frac{4}{3} + y = 7 \]
\[ y = 7 + \frac{4}{3} \]
\[ y = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} \]
\[ y = \frac{25}{3} \]
Система имеет одно решение.
Таким образом, правильный ответ:
а) и г) — одно решение;
в) — нет решений.
