Укажите, сколько решений имеет система уравнений

Для анализа системы уравнений, давайте рассмотрим каждую из предложенных систем по отдельности. ### **Системы уравнений:** а) \[ \begin{cases} 5x + y = 10, \\ -x + 5 = y. \end{cases} \] Решим систему. Подставим второе уравнение во второе: 1. \( y = -x + 5 \). Подставляем во второе уравнение: \[ 5x + (-x + 5) = 10. \] Упростим: \[ 5x - x + 5 = 10 \] \[ 4x + 5 = 10 \] \[ 4x = 5 \] \[ x = \frac{5}{4} \] Теперь найдем \( y \): \[ y = -\frac{5}{4} + 5 = \frac{15}{4} \] Таким образом, система имеет одно решение. б) \[ \begin{cases} 2y + \frac{x}{2} = 4, \\ \frac{x}{3} + y = 2. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2 чтобы избавиться от дробей: \[ 4y + x = 8 \] И второе уравнение на 3: \[ x + 3y = 6 \] Получаем систему: \[ \begin{cases} 4y + x = 8, \\ x + 3y = 6. \end{cases} \] Вычтем из первого второе: \[ 4y + x - (x + 3y) = 8 - 6 \] \[ 4y + x - x - 3y = 2 \] \[ y = 2 \] Подставим в любое уравнение, например, во второе: \[ x + 3 \cdot 2 = 6 \] \[ x + 6 = 6 \] \[ x = 0 \] Система имеет одно решение. в) \[ \begin{cases} y = 3x - 1, \\ y = 3x + 1. \end{cases} \] Поскольку \( y \) не может одновременно быть равен \( 3x - 1 \) и \( 3x + 1 \), система не имеет решений. Эти прямые параллельны. г) \[ \begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ x + y = 7. \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2: \[ 2x + 2y = 14 \] Теперь система: \[ \begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ 2x + 2y = 14. \end{cases} \] Вычтем второе из первого: \[ (5x + 2y) - (2x + 2y) = 10 - 14 \] \[ 3x = -4 \] \[ x = -\frac{4}{3} \] Подставляем в \( x + y = 7 \): \[ -\frac{4}{3} + y = 7 \] \[ y = 7 + \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{25}{3} \] Система имеет одно решение. Таким образом, правильный ответ: а) и г) — одно решение; в) — нет решений.