решите систему уравнений методом алгебраического сложения: x²-3y²=22 x²+3y²=28

Чтобы решить систему уравнений методом алгебраического сложения, сначала запишем два уравнения:

1. \( x^2 - 3y^2 = 22 \) (Уравнение 1)
2. \( x^2 + 3y^2 = 28 \) (Уравнение 2)

Теперь мы можем сложить оба уравнения. Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2:

\[ (x^2 - 3y^2) + (x^2 + 3y^2) = 22 + 28 \]

Слева мы видим, что \( -3y^2 + 3y^2 = 0 \), поэтому у нас остается:

\[ 2x^2 = 50 \]

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:

\[ x^2 = 25 \]

Теперь мы можем найти \( x \). Извлекаем квадратный корень:

\[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5 \]

Теперь, когда мы нашли значения \( x \), можем подставить их обратно в одно из первоначальных уравнений, чтобы найти \( y \). Лучше всего подставить в Уравнение 2:

\[ x^2 + 3y^2 = 28 \]

1. Если \( x = 5 \):

\[ 5^2 + 3y^2 = 28 \] \[ 25 + 3y^2 = 28 \] \[ 3y^2 = 3 \] \[ y^2 = 1 \] \[ y = 1 \quad \text{или} \quad y = -1 \]

Таким образом, для \( x = 5 \), мы имеем два возможных значения для \( y \): \( y = 1 \) и \( y = -1 \).

2. Если \( x = -5 \):

\[ (-5)^2 + 3y^2 = 28 \] \[ 25 + 3y^2 = 28 \] \[ 3y^2 = 3 \] \[ y^2 = 1 \] \[ y = 1 \quad \text{или} \quad y = -1 \]

Таким образом, для \( x = -5 \), также получаем два возможных значения для \( y \): \( y = 1 \) и \( y = -1 \).

Подводя итог, мы имеем следующие решения для системы уравнений:

1. \( (x, y) = (5, 1) \)
2. \( (x, y) = (5, -1) \)
3. \( (x, y) = (-5, 1) \)
4. \( (x, y) = (-5, -1) \)

Эти пары \((x, y)\) являются полными решениями системы уравнений.