Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1. Точка M - середина ребра BC . Найдите угол между прямой C1M и плоскостью ABB1 . В ответ укажите квадрат косинуса найденного угла.

Для решения этой задачи сначала представим, как выглядит правильная треугольная призма и определим необходимые векторы для дальнейших вычислений. ### Шаг 1: Определение координат вершин призмы Рассмотрим правильную треугольную призму, состоящую из следующих вершин: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(1, 0, 0) \) - \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \) - \( A_1(0, 0, 1) \) - \( B_1(1, 0, 1) \) - \( C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) \) Теперь у нас есть все необходимые координаты для вершин призмы. ### Шаг 2: Нахождение координат точки M Точка M — это середина ребра BC. Для нахождения координат M, воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка: \[ M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) \] Подставим значения координат точек B и C: \[ M = \left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right) \] ### Шаг 3: Нахождение вектора C1M Теперь найдем вектор \( \vec{C_1M} = M - C_1 \). Координаты точки \( C_1 \) равны \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) \). Тогда: \[ \vec{C_1M} = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 1\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, -1\right) \] ### Шаг 4: Определение нормали к плоскости ABB1 Плоскость, образованная точками A, B и B1, задана этими точками: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(1, 0, 0) \) - \( B_1(1, 0, 1) \) Чтобы найти нормальный вектор к плоскости, нам необходимо найти два вектора, лежащие в плоскости. Можно взять векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AB_1} \): \[ \vec{AB} = B - A = (1, 0, 0) \] \[ \vec{AB_1} = B_1 - A = (1, 0, 1) \] Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости, используя произведение векторов: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AB_1} \] Вычисления произведения дают: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\hat{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\hat{j} + (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\hat{k} = (0, -1, 0) \] Таким образом, нормальный вектор к плоскости равен \( \vec{n} = (0, -1, 0) \). ### Шаг 5: Нахождение угол между вектором C1M и нормалью к плоскости Чтобы найти угол между вектором \( \vec{C_1M} \) и нормалью \( \vec{n} \), используем формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{C_1M} \cdot \vec{n}}{|\vec{C_1M}| |\vec{n}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{C_1M} \cdot \vec{n} = \left(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, -1\right) \cdot (0, -1, 0) = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{C_1M}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 1} = \sqrt{\frac{4}{16} + 1} = \sqrt{\frac{20}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \] Теперь подставим все в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{10} \] ### Шаг 6: Нахождение квадратов косинуса угла Квадрат косинуса нужного угла: \[ \cos^2(\theta) = \left(\frac{\sqrt{15}}{10}\right)^2 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} \] ### Ответ Квадрат косинуса найденного угла равен \( \frac{3}{20} \).