y=x+6 y=-1/2x+6 y=1/4x+1,5

Чтобы понять систему уравнений:

1. \( y = x + 6 \)
2. \( y = -\frac{1}{2}x + 6 \)
3. \( y = \frac{1}{4}x + 1.5 \)

мы можем проанализировать каждое уравнение и определить, где они пересекаются, а также как выглядят их графики.

Шаг 1: Построим графики уравнений

Каждое из уравнений описывает линию в координатной плоскости.

1. Первое уравнение: \( y = x + 6 \)

   • Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и свободным членом 6.
   • Начальная точка (пересечение с осью y) - (0, 6).
   • Для нахождения другой точки, можно подставить, например, \( x = 2 \): \[ y = 2 + 6 = 8 \quad \Rightarrow \quad (2, 8) \]

2. Второе уравнение: \( y = -\frac{1}{2}x + 6 \)

   • Угловой коэффициент -\(\frac{1}{2}\) обозначает, что прямая убывающая.
   • Начальная точка (0,6).
   • Для нахождения еще одной точки, подставим \( x = 2 \): \[ y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 6 = 5 \quad \Rightarrow \quad (2, 5) \]

3. Третье уравнение: \( y = \frac{1}{4}x + 1.5 \)

   • Угловой коэффициент \(\frac{1}{4}\) говорит о том, что прямая возрастает.
   • Начальная точка (0, 1.5).
   • Подставим \( x = 4 \): \[ y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 1.5 = 2 + 1.5 = 3.5 \quad \Rightarrow \quad (4, 3.5) \]

Шаг 2: Найдем точки пересечения

Для нахождения точек пересечения двух линий надо приравнять их правые части.

1. Пересечение первых двух уравнений: \[ x + 6 = -\frac{1}{2}x + 6 \] Убираем 6: \[ x = -\frac{1}{2}x \] Умножаем обе стороны на 2: \[ 2x = -x \quad \Rightarrow \quad 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Теперь подставим \( x = 0 \) в любое из уравнений, например, в первое: \[ y = 0 + 6 = 6 \quad \Rightarrow \quad (0, 6) \]

2. Пересечение первого и третьего уравнений: \[ x + 6 = \frac{1}{4}x + 1.5 \] Убираем 1.5: \[ x + 4.5 = \frac{1}{4}x \] Умножаем на 4: \[ 4x + 18 = x \quad \Rightarrow \quad 3x = -18 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \] Подставляем \( x = -6 \) в первое уравнение: \[ y = -6 + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (-6, 0) \]

3. Пересечение второго и третьего уравнений: \[ -\frac{1}{2}x + 6 = \frac{1}{4}x + 1.5 \] Убираем 1.5: \[ -\frac{1}{2}x + 4.5 = \frac{1}{4}x \] Умножаем на 4 и решаем: \[ -2x + 18 = x \quad \Rightarrow \quad 3x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Подставляем \( x = 6 \) в любое уравнение, например, во второе: \[ y = -\frac{1}{2} \cdot 6 + 6 = -3 + 6 = 3 \quad \Rightarrow \quad (6, 3) \]

Шаг 3: Итоговые точки пересечения

• Пересечение первой и второй: \( (0, 6) \)
• Пересечение первой и третьей: \( (-6, 0) \)
• Пересечение второй и третьей: \( (6, 3) \)

Таким образом, мы получили, что каждая пара уравнений пересекается в указанных точках, что также можно подтвердить графически. Если есть дополнительные вопросы или нужно разобрать другие уравнения, дайте знать!