Давайте разберем, как найти функцию графика, а также определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) будет пересекаться с графиком ровно в одной точке.
Шаг 1: Запись функции
Сначала запишем функцию, представленную в задаче:
[
y = \frac{1}{2} \left( |5.5 - x| + |5.5 + x| \right).
]
Эта функция состоит из двух модулей.
Шаг 2: Разбор функции
Чтобы легче работать с модулем, разберем его на части:
Для ( x < -5.5 ):
[
|5.5 - x| = 5.5 - x,
]
[
|5.5 + x| = - (5.5 + x) = -5.5 - x.
]
Подставим это в уравнение:
[
y = \frac{1}{2} \left( (5.5 - x) + (-5.5 - x) \right) = \frac{1}{2} (-2x) = -x.
]
Для ( -5.5 \leq x < 5.5 ):
[
|5.5 - x| = 5.5 - x,
]
[
|5.5 + x| = 5.5 + x.
]
Подставим:
[
y = \frac{1}{2} \left( (5.5 - x) + (5.5 + x) \right) = \frac{1}{2} (11) = 5.5.
]
Для ( x \geq 5.5 ):
[
|5.5 - x| = - (5.5 - x) = x - 5.5,
]
[
|5.5 + x| = 5.5 + x.
]
Подставим:
[
y = \frac{1}{2} \left( (x - 5.5) + (5.5 + x) \right) = \frac{1}{2} (2x) = x.
]
Теперь мы собрали все части. В итоге, функция ( y ) имеет следующий вид:
[
y =
\begin{cases}
-x & \text{если } x < -5.5 \
5.5 & \text{если } -5.5 \leq x < 5.5 \
x & \text{если } x \geq 5.5
\end{cases}
]
Шаг 3: Условия для пересечения
Чтобы прямая ( y = m ) пересекала график в одной точке, она должна проходить через одну из "плоских" частей графика. Таким образом, нам нужно рассмотреть две ситуации, при которых это может произойти:
Если ( m < 5.5 ):
- Прямая ( y = m ) пересекает график ( y = -x ) только в одной точке. Это будет происходить, когда ( m ) приравнивается к -x, значит: ( -x = m \Rightarrow x = -m ).
- Также важно, чтобы точка пересечения находилась слева от -5.5. Поэтому:
[
-m < -5.5 \Rightarrow m > 5.5.
]
Это условие является противоположным для ( m < 5.5 ), значит, пересечения не будет.
Если ( m = 5.5 ):
- В этом случае прямая проходит через горизонтальную часть графика и будет пересекаться в бесконечном количестве значений, поэтому это не подходит.
Если ( m > 5.5 ):
- Прямая ( y = m ) будет пересекать линейную часть ( y = x ) только в одной точке. Это будет происходить, когда:
[
m = x \Rightarrow x = m.
]
Заключение
Таким образом, прямой ( y = m ) будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком функции только в случае, если:
[
m > 5.5.
]
