Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой распределения вероятностей – биномиальным распределением. В данном случае мы ищем вероятность отказа 4 узлов из 10, при…

Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения. Нам нужно найти вероятность отказа 4 узлов из 10, при условии, что вероятность безотказной работы каждого узла составляет 0,8.

Шаг 1: Разберемся с формулой биномиального распределения

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{(n-k)} \]

где:

• \( P(X=k) \) — вероятность того, что произойдет \( k \) событий (в нашем случае 4 узла выйдут из строя),
• \( n \) — общее количество узлов (в нашем случае 10),
• \( k \) — количество узлов, которые должны выйти из строя (в данном случае 4),
• \( p \) — вероятность безотказной работы узла (в данном случае 0,8),
• \( C(n, k) \) — количество сочетаний из \( n \) по \( k \), то есть число способов выбрать \( k \) объектов из \( n \).

Шаг 2: Находим значение \( C(10, 4) \)

Количество сочетаний \( C(n, k) \) можно найти по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Для \( C(10, 4) \) это будет:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Вычислим:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
• \( 4! = 24 \)
• \( 6! = 720 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 3: Подставляем все значения в формулу

Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X=4) = C(10, 4) \cdot (0,8)^4 \cdot (1-0,8)^{(10-4)} \]

Для начала вычислим:

• \( (0,8)^4 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,4096 \)
• \( (1-0,8) = 0,2 \)
• \( (0,2)^{(10-4)} = (0,2)^6 = 0,000064 \)

Теперь подставляем все это в формулу:

\[ P(X=4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \]

Шаг 4: Вычисляем результат

Теперь перемножим:

\[ P(X=4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 = 210 \cdot 0,0000262144 \approx 0,0055 \]

Итог

Таким образом, вероятность того, что 4 узла из 10 выйдут из строя, составляет примерно 0,0055, или 0,55%.

Если что-то еще необходимо разъяснить или пересчитать, дайте знать!