построй график функции y= 2x|x|- 5|x| +3x. Определи при каких значениях m прямая y =m имеет с графиком ровно две общие точки

Чтобы решить задачу, давайте начнем с построения графика функции \( y = 2x|x| - 5|x| + 3x \) и определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком данной функции ровно в двух точках.

Шаг 1. Упрощение функции

Функция содержит модуль \( |x| \). Мы будем рассматривать два случая: \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \).

1. Случай 1: \( x \geq 0 \)

   В этом случае \( |x| = x \): \[ y = 2x^2 - 5x + 3x = 2x^2 - 2x \] Упрощаем: \[ y = 2x^2 - 2x \]

2. Случай 2: \( x < 0 \)

   Здесь \( |x| = -x \): \[ y = 2x(-x) - 5(-x) + 3x = -2x^2 + 5x + 3x = -2x^2 + 8x \] Упрощаем: \[ y = -2x^2 + 8x \]

Шаг 2. Построение графика

Теперь мы имеем две функции:

• \( y = 2x^2 - 2x \) при \( x \geq 0 \)
• \( y = -2x^2 + 8x \) при \( x < 0 \)

Найдем вершину параболы и ось симметрии:

1. Для \( y = 2x^2 - 2x \):

   • Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]
   • Подставим \( x \) в функцию, чтобы найти \( y \): \[ y = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
   • Таким образом, у нас есть точка \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) \).

2. Для \( y = -2x^2 + 8x \):

   • Вершина: \[ x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2 \]
   • Подставим \( x \) в функцию: \[ y = -2(2^2) + 8(2) = -8 + 16 = 8 \]
   • Точка: \( (2, 8) \).

Шаг 3. Пересечение с прямой y = m

Теперь мы ищем \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции два раза.

1. Для \( y = 2x^2 - 2x \) (график параболы открывающейся вверх): \[ 2x^2 - 2x - m = 0 \] Условия для двух решений (пересекает): \[ D > 0 \quad \Rightarrow \quad (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) > 0 \quad \Rightarrow \quad 4 + 8m > 0 \quad \Rightarrow \quad m > -\frac{1}{2} \]

2. Для \( y = -2x^2 + 8x \) (график параболы открывающейся вниз): \[ -2x^2 + 8x - m = 0 \] Условия для двух решений: \[ D > 0 \quad \Rightarrow \quad 8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) > 0 \quad \Rightarrow \quad 64 - 8m > 0 \quad \Rightarrow \quad m < 8 \]

Шаг 4. Общий результат

Таким образом, прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции ровно в двух точках при: \[ -\frac{1}{2} < m < 8 \]

Эти значения \( m \) обеспечат именно два пересечения с графиком.