Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение числу 4.
Для того чтобы составить квадратное уравнение, зная сумму и произведение его корней, можно воспользоваться следующей формой квадратного уравнения:
\[ x^2 - Sx + P = 0, \]
где \( S \) — сумма корней, а \( P \) — произведение корней.
Шаг 1: Задать значения для суммы и произведения.
В данном случае:
- Сумма корней \( S = 6 \)
- Произведение корней \( P = 4 \)
Шаг 2: Подставить значения в формулу.
Подставим значения \( S \) и \( P \) в формулу:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0. \]
Это и есть искомое квадратное уравнение.
Шаг 3: Проверка.
Чтобы убедиться, что сумма и произведение корней равны указанным, можно найти корни этого уравнения:
- Используем дискриминант для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 4 \).
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20. \]
- Найдем корни уравнения с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}. \]
- Проверим сумму и произведение корней:
Сумма:
\[ (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6. \]
Произведение:
\[ (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4. \]
Таким образом, сумма и произведение корней уравнения действительно равны 6 и 4 соответственно.
Итог:
Квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение — 4, выглядит следующим образом:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0. \]
