В серии из 5 5 испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,3 0,3 . Найди вероятность, что успех наступит ровно три раза. Выбери верный вариант. C 3…

Для решения задачи о вероятности успеха в испытаниях Бернулли, где нужно найти вероятность того, что успех наступит ровно три раза из пяти с вероятностью успеха 0,3 в каждом испытании, мы будем использовать формулу биномиального распределения.

Формула биномиального распределения:

Вероятность получить k успехов в n испытаниях с вероятностью успеха p можно выразить следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

• \(p\) — вероятность успеха в одном испытании.
• \(n\) — общее количество испытаний.
• \(k\) — количество успехов, которое мы хотим получить.

Ваша задача:

• \(n = 5\) (общее количество испытаний)
• \(k = 3\) (количество успехов)
• \(p = 0,3\) (вероятность успеха)
• \(1 - p = 0,7\) (вероятность неудачи)

Теперь подставим значения в формулу:

1. Вычисляем биномиальный коэффициент \(C(5, 3)\): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

2. Теперь подставим все в формулу: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^2 \] \[ (0,3)^3 = 0,027 \] \[ (0,7)^2 = 0,49 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,027 \cdot 0,49 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,01323 = 0,1323 \]

Таким образом, вероятность того, что успех наступит ровно три раза, составляет 0,1323.

Выбор правильного варианта: Сравним с предложенными вариантами:

1. \(C(3,5) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2\)
2. \(C(5,3) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2\) (правильный вариант)
3. \(C(5,3) \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^3\)
4. \(C(5,2) \cdot 0,3^3 \cdot 0,3^2\)

Правильный вариант — второй: \[ C(5, 3) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2 \]