В серии из
5
5
испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна
0,3
0,3
. Найди вероятность, что успех наступит ровно три раза.
Выбери верный вариант.
C
3
5
⋅
0
,
3
3
⋅
0
,
7
2
C
3
5
⋅0,3
3
⋅0,7
2
C
5
3
⋅
0
,
3
3
⋅
0
,
7
2
C
5
3
⋅0,3
3
⋅0,7
2
C
5
3
⋅
0
,
3
2
⋅
0
,
7
3
C
5
3
⋅0,3
2
⋅0,7
3
C
5
2
⋅
0
,
3
3
⋅
0
,
3
2
C
5
2
⋅0,3
3
⋅0,3
2
Для решения задачи о вероятности успеха в испытаниях Бернулли, где нужно найти вероятность того, что успех наступит ровно три раза из пяти с вероятностью успеха 0,3 в каждом испытании, мы будем использовать формулу биномиального распределения.
**Формула биномиального распределения**:
Вероятность получить k успехов в n испытаниях с вероятностью успеха p можно выразить следующим образом:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
где:
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании.
- \(n\) — общее количество испытаний.
- \(k\) — количество успехов, которое мы хотим получить.
Ваша задача:
- \(n = 5\) (общее количество испытаний)
- \(k = 3\) (количество успехов)
- \(p = 0,3\) (вероятность успеха)
- \(1 - p = 0,7\) (вероятность неудачи)
Теперь подставим значения в формулу:
1. **Вычисляем биномиальный коэффициент** \(C(5, 3)\):
\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
\]
2. **Теперь подставим все в формулу**:
\[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^{5-3}
\]
\[
P(X = 3) = 10 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^2
\]
\[
(0,3)^3 = 0,027
\]
\[
(0,7)^2 = 0,49
\]
\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0,027 \cdot 0,49
\]
\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0,01323 = 0,1323
\]
Таким образом, вероятность того, что успех наступит ровно три раза, составляет **0,1323**.
**Выбор правильного варианта**:
Сравним с предложенными вариантами:
1. \(C(3,5) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2\)
2. \(C(5,3) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2\) **(правильный вариант)**
3. \(C(5,3) \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^3\)
4. \(C(5,2) \cdot 0,3^3 \cdot 0,3^2\)
Правильный вариант — второй:
\[
C(5, 3) \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^2
\]
