Для решения задачи будем использовать комбинаторику.
У нас есть 20 тетрадей, из которых 12 должны лежать обложкой вверх, а остальные 8 соответственно будут лежать обложкой вниз. Мы можем выбрать любые 12 тетрадей из 20 для того, чтобы они были обложкой вверх.
Шаг 1: Выбор тетрадей
Сначала определим, сколько способов существует выбрать 12 тетрадей из 20. Это можно сделать используя формулу сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество объектов (в нашем случае 20 тетрадей), а ( k ) — количество объектов, которое мы выбираем (в нашем случае 12).
Шаг 2: Подстановка значений
Подставим наши значения в формулу сочетаний:
[
C(20, 12) = \frac{20!}{12!(20-12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!}
]
Шаг 3: Вычисление
Теперь давайте упростим выражение:
[
C(20, 12) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Теперь проведем вычисления по порядку:
- В числителе: ( 20 \times 19 = 380 )
- ( 380 \times 18 = 6840 )
- ( 6840 \times 17 = 116280 )
- ( 116280 \times 16 = 1860480 )
- ( 1860480 \times 15 = 27907200 )
- ( 27907200 \times 14 = 390700800 )
- ( 390700800 \times 13 = 5079110400 )
Теперь в знаменателе ( 8! ):
[
8! = 40320
]
Таким образом, делим:
[
\frac{5079110400}{40320} = 12600.
]
Ответ:
Количество способов положить стопку с тетрадями так, чтобы 12 из них были обложкой вверх, равно 125970.
