На рисунке изображён прямоугольник ABCD . Точки K , L ,M ,N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…
На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L,M,N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCD.
Чтобы решить задачу, начнем с визуализации прямоугольника ABCD и его характеристик:
Определим прямоугольник: Пусть прямоугольник ABCD имеет длину \( a \) и ширину \( b \). У нас есть следующие координаты вершин:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)
Найдём координаты середины сторон:
- K — середина стороны AB: \( K\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- L — середина стороны BC: \( L\left(a, \frac{b}{2}\right) \)
- M — середина стороны CD: \( M\left(\frac{a}{2}, b\right) \)
- N — середина стороны DA: \( N(0, \frac{b}{2}) \)
Четырехугольник AMCD: Это четырехугольник, состоящий из следующих вершин:
- A(0, 0)
- M\(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
- C(a, b)
- D(0, b)
Найдём площадь прямоугольника ABCD: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]
Найдём площадь четырехугольника AMCD: Для вычисления площади четырехугольника, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \]
Подставим координаты вершин четырехугольника AMCD:
- A(0, 0)
- M\(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
- C(a, b)
- D(0, b)
Получаем: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{ab}{4} \]
Теперь находим вероятность: Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит четырехугольнику AMCD, вычисляется как отношение площади четырехугольника к площади всего прямоугольника: \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AMCD, составляет \( \frac{1}{4} \) или 25%.
