На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L,M,N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCD.

Чтобы решить задачу, начнем с визуализации прямоугольника ABCD и его характеристик: 1. **Определим прямоугольник:** Пусть прямоугольник ABCD имеет длину \( a \) и ширину \( b \). У нас есть следующие координаты вершин: - A(0, 0) - B(a, 0) - C(a, b) - D(0, b) 2. **Найдём координаты середины сторон:** - K — середина стороны AB: \( K\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) - L — середина стороны BC: \( L\left(a, \frac{b}{2}\right) \) - M — середина стороны CD: \( M\left(\frac{a}{2}, b\right) \) - N — середина стороны DA: \( N(0, \frac{b}{2}) \) 3. **Четырехугольник AMCD:** Это четырехугольник, состоящий из следующих вершин: - A(0, 0) - M\(\left(\frac{a}{2}, b\right)\) - C(a, b) - D(0, b) 4. **Найдём площадь прямоугольника ABCD:** \[ S_{ABCD} = a \cdot b \] 5. **Найдём площадь четырехугольника AMCD:** Для вычисления площади четырехугольника, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставим координаты вершин четырехугольника AMCD: - A(0, 0) - M\(\left(\frac{a}{2}, b\right)\) - C(a, b) - D(0, b) Получаем: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} \right| \] \[ S_{AMCD} = \frac{ab}{4} \] 6. **Теперь находим вероятность:** Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит четырехугольнику AMCD, вычисляется как отношение площади четырехугольника к площади всего прямоугольника: \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \] Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AMCD, составляет \( \frac{1}{4} \) или 25%.