log в степени 4 ( x+3x) =2
Давайте решим уравнение логарифма, представленное в задаче:
\[ \log_4(x + 3x) = 2. \]
Шаг 1: Упростим выражение внутри логарифма
Сначала упростим выражение \(x + 3x\):
\[ x + 3x = 4x. \]
Подставим это в уравнение:
\[ \log_4(4x) = 2. \]
Шаг 2: Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное
Логарифм можно преобразовать в экспоненциальную форму. У нас есть:
\[ \log_b(a) = c \Rightarrow a = b^c. \]
В нашем случае \(b = 4\), \(a = 4x\), и \(c = 2\). Применим это:
\[ 4x = 4^2. \]
Шаг 3: Найдем значение \(4^2\)
Теперь вычислим \(4^2\):
\[ 4^2 = 16. \]
Таким образом, мы получили:
\[ 4x = 16. \]
Шаг 4: Решим уравнение для \(x\)
Теперь разделим обе стороны уравнения на 4:
\[ x = \frac{16}{4} = 4. \]
Шаг 5: Проверим ответ
Проверим, что \(x = 4\) верно для исходного уравнения. Подставим \(x\) обратно в логарифм:
\[ x + 3x = 4 + 3 \cdot 4 = 4 + 12 = 16. \]
Теперь проверим:
\[ \log_4(16). \]
Мы знаем, что \(16 = 4^2\), следовательно:
\[ \log_4(16) = 2. \]
Это соответствует правой стороне уравнения, что подтверждает, что ответ правильный.
Ответ:
\[ x = 4. \]
