Давайте решим уравнение логарифма, представленное в задаче:
[ \log_4(x + 3x) = 2. ]
Шаг 1: Упростим выражение внутри логарифма
Сначала упростим выражение (x + 3x):
[
x + 3x = 4x.
]
Подставим это в уравнение:
[
\log_4(4x) = 2.
]
Шаг 2: Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное
Логарифм можно преобразовать в экспоненциальную форму. У нас есть:
[
\log_b(a) = c \Rightarrow a = b^c.
]
В нашем случае (b = 4), (a = 4x), и (c = 2). Применим это:
[
4x = 4^2.
]
Шаг 3: Найдем значение (4^2)
Теперь вычислим (4^2):
[
4^2 = 16.
]
Таким образом, мы получили:
[
4x = 16.
]
Шаг 4: Решим уравнение для (x)
Теперь разделим обе стороны уравнения на 4:
[
x = \frac{16}{4} = 4.
]
Шаг 5: Проверим ответ
Проверим, что (x = 4) верно для исходного уравнения. Подставим (x) обратно в логарифм:
[
x + 3x = 4 + 3 \cdot 4 = 4 + 12 = 16.
]
Теперь проверим:
[
\log_4(16).
]
Мы знаем, что (16 = 4^2), следовательно:
[
\log_4(16) = 2.
]
Это соответствует правой стороне уравнения, что подтверждает, что ответ правильный.
Ответ:
[ x = 4. ]
