Для решения задачи вычислим выражение ( 7 - 5 \cos^2 a ) при условии, что ( \sin a = \frac{3}{5} ).
Шаг 1: Находим ( \cos a ) с помощью основного тригонометрического соотношения:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Зная, что ( \sin a = \frac{3}{5} ), подставим значение в уравнение:
[
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1
]
[
\frac{9}{25} + \cos^2 a = 1
]
Шаг 2: Выразим ( \cos^2 a ):
[
\cos^2 a = 1 - \frac{9}{25}
]
Приведем число 1 к общему знаменателю 25:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Теперь можем вычесть:
[
\cos^2 a = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
]
Шаг 3: Подставим значение ( \cos^2 a ) в исходное выражение ( 7 - 5 \cos^2 a ):
[
7 - 5 \cos^2 a = 7 - 5 \left(\frac{16}{25}\right)
]
Шаг 4: Выполним умножение:
[
5 \left(\frac{16}{25}\right) = \frac{80}{25}
]
Шаг 5: Теперь вычислим ( 7 - \frac{80}{25} ). Сначала подведем 7 к общему знаменателю:
[
7 = \frac{175}{25}
]
Теперь можем вычесть:
[
\frac{175}{25} - \frac{80}{25} = \frac{175 - 80}{25} = \frac{95}{25}
]
Шаг 6: Упростим дробь:
[
\frac{95}{25} = \frac{19}{5}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
7 - 5 \cos^2 a = \frac{19}{5}
]
Теперь вы можете применять это решение к подобным задачам и понимать, как использовать основное тригонометрическое соотношение для нахождения значений.
