В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 600 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 430 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим данные задачи.
У нас есть акции с ценами:
- 200 р
- 300 р
- 400 р
- 500 р
- 600 р
Б. подсчитал среднюю цену своих акций, которая составила 422 рубля. После того как он купил акцию за 600 руб., средняя цена не достигла 430 р.
Шаг 2: Рассчитаем среднюю цену акций до покупки последней.
Обозначим количество акций до покупки как \( n \), а сумму их цен как \( S \). Тогда средняя цена рассчитывается следующим образом:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{S}{n} = 422 \]
Из этого мы можем выразить сумму \( S \):
\[ S = 422n \]
Шаг 3: Найдем среднюю цену после покупки последней акции.
После покупки одной акции за 600 р. количество акций увеличивается на 1, и новая сумма будет равна \( S + 600 \). Таким образом, новая средняя цена будет:
\[ \text{Новая средняя цена} = \frac{S + 600}{n + 1} \]
Мы знаем, что эта средняя цена меньше 430:
\[ \frac{S + 600}{n + 1} < 430 \]
Шаг 4: Подставим выражение для \( S \):
Подставим \( S = 422n \) в неравенство:
\[ \frac{422n + 600}{n + 1} < 430 \]
Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (это возможно, так как количество акций положительное):
\[ 422n + 600 < 430(n + 1) \]
Шаг 5: Раскроем скобки:
\[ 422n + 600 < 430n + 430 \]
Шаг 6: Переносим все части неравенства на одну сторону:
\[ 422n + 600 - 430n - 430 < 0 \]
Упрощаем:
\[ -8n + 170 < 0 \]
Переносим \( 8n \) на правую сторону:
\[ 170 < 8n \]
Делим обе стороны на 8:
\[ \frac{170}{8} < n \quad \Rightarrow \quad 21.25 < n \]
Так как \( n \) должно быть целым числом, мы округляем до ближайшего большего целого:
\[ n \geq 22 \]
Шаг 7: Проверка наименьшего значения \( n \)
Наименьшее целое значение, которое удовлетворяет неравенству — это 22. Теперь мы проверим, действительно ли, при \( n = 22 \) средняя цена до покупки была 422, и после покупки за 600 р не превращается в 430.
Сравним среднюю цену:
Сумма цен акций: \[ S = 422 \times 22 = 9284 \]
После покупки: \[ S + 600 = 9284 + 600 = 9884 \] Количество акций теперь: \[ n + 1 = 23 \]
Теперь считаем новую среднюю цену: \[ \frac{9884}{23} \approx 429.26 \]
Так как 429.26 < 430, это условие выполнено.
Ответ: Наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции — 22 акции.
