Давайте решим задачу о вероятности вместе, пошагово.
В данной задаче мы имеем 6 одинаковых по трудности задач и вероятность того, что Сергей решит каждую задачу, равна 0,75. Нам нужно найти вероятность того, что он решит не менее 3 задач.
Шаг 1: Определение параметров
- Обозначим количество задач, которые Сергей решит, как ( X ).
- ( X ) распределен по биномиальному закону (биномиальное распределение), так как у нас фиксированное количество испытаний (задач) и два исхода (закончить задачу или не закончить).
Параметры биномиального распределения:
- ( n = 6 ) (количество задач)
- ( p = 0,75 ) (вероятность успешного решения каждой задачи)
Шаг 2: Вероятность решения не менее 3 задач
Нам нужно найти ( P(X \geq 3) ). Это можно выразить через комплементарную вероятность:
[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
]
где
[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
]
Шаг 3: Формула биномиального распределения
Формула для нахождения вероятности в биномиальном распределении:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Шаг 4: Вычисление ( P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) )
Теперь рассчитаем вероятности:
1. Для ( P(X = 0) ):
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0,75)^0 \cdot (0,25)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0,25)^6 \approx 0,000244141
]
2. Для ( P(X = 1) ):
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0,75)^1 \cdot (0,25)^5 = 6 \cdot 0,75 \cdot (0,25)^5 \approx 6 \cdot 0,75 \cdot 0,0009765625 \approx 0,004394531
]
3. Для ( P(X = 2) ):
[
P(X = 2) = C(6, 2) \cdot (0,75)^2 \cdot (0,25)^4 = 15 \cdot (0,75)^2 \cdot (0,25)^4 \approx 15 \cdot 0,5625 \cdot 0,00390625 \approx 0,022888184
]
Шаг 5: Нахождение ( P(X < 3) )
Теперь сложим все найденные вероятности:
[
P(X < 3) \approx 0,000244141 + 0,004394531 + 0,022888184 \approx 0,027526856
]
Шаг 6: Нахождение ( P(X \geq 3) )
Теперь подставим это значение в формулу:
[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) \approx 1 - 0,027526856 \approx 0,972473144
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач, составляет примерно 0,972 или 97,2%.
