Сергею задали 6 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Сергей решит каждую отдельную задачу, равна 0, 75. Сопоставьте условие задачи с ответом. Найдите вероятность…

Давайте решим задачу о вероятности вместе, пошагово.

В данной задаче мы имеем 6 одинаковых по трудности задач и вероятность того, что Сергей решит каждую задачу, равна 0,75. Нам нужно найти вероятность того, что он решит не менее 3 задач.

Шаг 1: Определение параметров

• Обозначим количество задач, которые Сергей решит, как \( X \).
• \( X \) распределен по биномиальному закону (биномиальное распределение), так как у нас фиксированное количество испытаний (задач) и два исхода (закончить задачу или не закончить).

Параметры биномиального распределения:

• \( n = 6 \) (количество задач)
• \( p = 0,75 \) (вероятность успешного решения каждой задачи)

Шаг 2: Вероятность решения не менее 3 задач

Нам нужно найти \( P(X \geq 3) \). Это можно выразить через комплементарную вероятность: \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) \] где \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

Шаг 3: Формула биномиального распределения

Формула для нахождения вероятности в биномиальном распределении: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Шаг 4: Вычисление \( P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) \)

Теперь рассчитаем вероятности:

1. Для \( P(X = 0) \):

\[ P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0,75)^0 \cdot (0,25)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0,25)^6 \approx 0,000244141 \]

2. Для \( P(X = 1) \):

\[ P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0,75)^1 \cdot (0,25)^5 = 6 \cdot 0,75 \cdot (0,25)^5 \approx 6 \cdot 0,75 \cdot 0,0009765625 \approx 0,004394531 \]

3. Для \( P(X = 2) \):

\[ P(X = 2) = C(6, 2) \cdot (0,75)^2 \cdot (0,25)^4 = 15 \cdot (0,75)^2 \cdot (0,25)^4 \approx 15 \cdot 0,5625 \cdot 0,00390625 \approx 0,022888184 \]

Шаг 5: Нахождение \( P(X < 3) \)

Теперь сложим все найденные вероятности: \[ P(X < 3) \approx 0,000244141 + 0,004394531 + 0,022888184 \approx 0,027526856 \]

Шаг 6: Нахождение \( P(X \geq 3) \)

Теперь подставим это значение в формулу: \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) \approx 1 - 0,027526856 \approx 0,972473144 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач, составляет примерно 0,972 или 97,2%.