Найдите координаты вектора а если его модуль равен 10 и он перпендикулярен вектору б (4;3)

Если вектор \( \mathbf{a} \) перпендикулярен вектору \( \mathbf{b} = (4, 3) \), то скалярное произведение этих векторов равно нулю:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]

Обозначим координаты вектора \( \mathbf{a} \) как \( \mathbf{a} = (x, y) \). Тогда скалярное произведение можно записать как:

\[ 4x + 3y = 0 \]

Также известно, что модуль вектора \( \mathbf{a} \) равен 10:

\[ \sqrt{x^2 + y^2} = 10 \]

Квадрат модуля тогда можно записать так:

\[ x^2 + y^2 = 100 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 4x + 3y = 0 \)
2. \( x^2 + y^2 = 100 \)

Из первого уравнения можно выразить \( y \):

\[ y = -\frac{4}{3}x \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x^2 + \left(-\frac{4}{3}x\right)^2 = 100 \]

Упрощаем:

\[ x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 100 \] \[ \left(1 + \frac{16}{9}\right)x^2 = 100 \] \[ \frac{25}{9}x^2 = 100 \]

Умножим обе стороны на \( \frac{9}{25} \):

\[ x^2 = 36 \]

Отсюда:

\[ x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]

Теперь найдем \( y \) в обоих случаях:

1. Если \( x = 6 \): \[ y = -\frac{4}{3} \cdot 6 = -8 \]

2. Если \( x = -6 \): \[ y = -\frac{4}{3} \cdot (-6) = 8 \]

Таким образом, возможные координаты вектора \( \mathbf{a} \) будут:

\[ \mathbf{a} = (6, -8) \quad \text{или} \quad \mathbf{a} = (-6, 8) \]