Если вектор ( \mathbf{a} ) перпендикулярен вектору ( \mathbf{b} = (4, 3) ), то скалярное произведение этих векторов равно нулю:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
]
Обозначим координаты вектора ( \mathbf{a} ) как ( \mathbf{a} = (x, y) ). Тогда скалярное произведение можно записать как:
[
4x + 3y = 0
]
Также известно, что модуль вектора ( \mathbf{a} ) равен 10:
[
\sqrt{x^2 + y^2} = 10
]
Квадрат модуля тогда можно записать так:
[
x^2 + y^2 = 100
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( 4x + 3y = 0 )
- ( x^2 + y^2 = 100 )
Из первого уравнения можно выразить ( y ):
[
y = -\frac{4}{3}x
]
Подставим это выражение во второе уравнение:
[
x^2 + \left(-\frac{4}{3}x\right)^2 = 100
]
Упрощаем:
[
x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 100
]
[
\left(1 + \frac{16}{9}\right)x^2 = 100
]
[
\frac{25}{9}x^2 = 100
]
Умножим обе стороны на ( \frac{9}{25} ):
[
x^2 = 36
]
Отсюда:
[
x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6
]
Теперь найдем ( y ) в обоих случаях:
Если ( x = 6 ):
[
y = -\frac{4}{3} \cdot 6 = -8
]
Если ( x = -6 ):
[
y = -\frac{4}{3} \cdot (-6) = 8
]
Таким образом, возможные координаты вектора ( \mathbf{a} ) будут:
[
\mathbf{a} = (6, -8) \quad \text{или} \quad \mathbf{a} = (-6, 8)
]
