Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Для решения задачи давайте обозначим параметры первой и второй кружки.
Пусть высота первой кружки \( h_1 \), а радиус её основания \( r_1 \). Тогда высота второй кружки \( h_2 \) и радиус её основания \( r_2 \) можно обозначить следующим образом:
Высота второй кружки: \[ h_2 = 2h_1 \]
Радиус второй кружки: \[ r_2 = 2.5r_1 \]
Теперь мы можем выразить объёмы обеих кружек. Объём цилиндра рассчитывается по формуле:
\[ V = \pi r^2 h \]
Теперь находим объём первой кружки:
\[ V_1 = \pi r_1^2 h_1 \]
И объём второй кружки:
\[ V_2 = \pi r_2^2 h_2 \]
Подставим выражения для \( r_2 \) и \( h_2 \):
\[ V_2 = \pi (2.5r_1)^2 (2h_1) \]
Теперь посчитаем \( (2.5r_1)^2 \):
\[ (2.5r_1)^2 = 6.25r_1^2 \]
Теперь подставим это в формулу объёма второй кружки:
\[ V_2 = \pi (6.25r_1^2) (2h_1) = 12.5\pi r_1^2 h_1 \]
Теперь у нас есть объёмы обеих кружек:
- Объём первой кружки: \( V_1 = \pi r_1^2 h_1 \)
- Объём второй кружки: \( V_2 = 12.5\pi r_1^2 h_1 \)
Теперь найдем отношение объёма второй кружки к объёму первой кружки:
\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{12.5\pi r_1^2 h_1}{\pi r_1^2 h_1} \]
Сократив общие элементы, получаем:
\[ \frac{V_2}{V_1} = 12.5 \]
Таким образом, отношение объёма второй кружки к объёму первой равно 12.5.
