В равнобедренном треугольнике MNK c основанием MK провели высоты из вершин M и K так, что они пересекаются в точке Q и ∠MQK=132°. Найди градусную меру всех углов треугольника MNK.

Для решения задачи о равнобедренном треугольнике MNK, где основание MK, проведены высоты из вершин M и K, и дан угол ∠MQK = 132°, давайте разберем ситуацию пошагово. ### Шаг 1: Определение углов в треугольнике 1. **Обозначим углы.** Пусть угол при вершине N обозначим как ∠MNK. Углы при основаниях M и K равны (так как треугольник равнобедренный), обозначим их как ∠K = ∠M = x. 2. **Сумма углов в треугольнике.** В треугольнике сумма углов всегда равна 180°. Таким образом, можно записать уравнение: \[ x + x + \angle MNK = 180° \] или \[ 2x + \angle MNK = 180° \] ### Шаг 2: Использование угла ∠MQK 3. **Углы, связанные с высотами.** Углы ∠MQK и ∠MQN имеют связь, так как M и K - это вершины треугольника MKN, а высоты являются перпендикулярами. Угол ∠MQK равен 132°, значит: \[ \angle MQK + \angle MQN = 180° \quad (\text{поскольку они являются смежными углами}) \] Следовательно, \[ \angle MQN = 180° - 132° = 48° \] ### Шаг 3: Находим угол при вершине N 4. **Углы в треугольнике.** Так как ∠MQN является внутренним углом в треугольнике MNK, то этот угол является также половиной угла ∠MNK. Углы при основании M и K соответственно равны ∠MQN: \[ \angle MNK = 2 \cdot 48° = 96° \] ### Шаг 4: Определяем углы при основании 5. **Подставляем обратно в уравнение.** Теперь, вставим ∠MNK = 96° в уравнение для углов: \[ 2x + 96° = 180° \] Решим это уравнение: \[ 2x = 180° - 96° \] \[ 2x = 84° \] \[ x = 42° \] ### Шаг 5: Итоговые углы треугольника Теперь мы можем определить все углы треугольника MNK: - Угол ∠MNK = 96° - Угол ∠M = 42° - Угол ∠K = 42° ### Ответ Таким образом, градусные меры всех углов треугольника MNK: - ∠M = 42° - ∠K = 42° - ∠MNK = 96°