докажите неравенство: 8y(3y-10)<(5y-8)²

Для доказательства неравенства \( 8y(3y-10) < (5y-8)^2 \) начнем с раскрытия обеих сторон неравенства.

Шаг 1: Раскроем обе стороны неравенства

Левая сторона: \[ 8y(3y - 10) = 24y^2 - 80y \]

Правая сторона: \[ (5y - 8)^2 = (5y - 8)(5y - 8) = 25y^2 - 80y + 64 \]

Теперь подставим оба результата в неравенство: \[ 24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64 \]

Шаг 2: Переносим все слагаемые на одну сторону

Переносим все слагаемые влево: \[ 24y^2 - 80y - 25y^2 + 80y - 64 < 0 \]

Упрощаем: \[ -1y^2 - 64 < 0 \]

Шаг 3: Приводим к стандартному виду

Умножим неравенство на -1 (не забываем при этом изменить знак неравенства): \[ y^2 + 64 > 0 \]

Шаг 4: Проверка неравенства

Смотрим на выражение \( y^2 + 64 \):

• Поскольку \( y^2 \) — это квадрат числа, он всегда неотрицателен (то есть \( y^2 \geq 0 \)).
• Следовательно, \( y^2 + 64 \geq 64 > 0 \) для всех \( y \).

Заключение

Таким образом, неравенство \( y^2 + 64 > 0 \) верно для всех действительных значений \( y \).

Мы доказали, что \( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 \) для всех \( y \in \mathbb{R} \).