Докажите неравенство: 8y(3y-10)<(5y-8)²

Для доказательства неравенства \( 8y(3y-10) < (5y-8)^2 \) начнем с раскрытия обеих сторон неравенства. ### Шаг 1: Раскроем обе стороны неравенства **Левая сторона:** \[ 8y(3y - 10) = 24y^2 - 80y \] **Правая сторона:** \[ (5y - 8)^2 = (5y - 8)(5y - 8) = 25y^2 - 80y + 64 \] Теперь подставим оба результата в неравенство: \[ 24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64 \] ### Шаг 2: Переносим все слагаемые на одну сторону Переносим все слагаемые влево: \[ 24y^2 - 80y - 25y^2 + 80y - 64 < 0 \] Упрощаем: \[ -1y^2 - 64 < 0 \] ### Шаг 3: Приводим к стандартному виду Умножим неравенство на -1 (не забываем при этом изменить знак неравенства): \[ y^2 + 64 > 0 \] ### Шаг 4: Проверка неравенства Смотрим на выражение \( y^2 + 64 \): - Поскольку \( y^2 \) — это квадрат числа, он всегда неотрицателен (то есть \( y^2 \geq 0 \)). - Следовательно, \( y^2 + 64 \geq 64 > 0 \) для всех \( y \). ### Заключение Таким образом, неравенство \( y^2 + 64 > 0 \) верно для всех действительных значений \( y \). Мы доказали, что \( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 \) для всех \( y \in \mathbb{R} \).