.

Чтобы доказать, что выражение \(a^3 - (7 + a)(49 - 7a + a^2)\) не зависит от значения \(a\), давайте его упростим.

Шаг 1: Раскроем скобки

Выражение дано как: \[ a^3 - (7 + a)(49 - 7a + a^2) \]

Раскроем скобки: \[ (7 + a)(49 - 7a + a^2) = 7(49 - 7a + a^2) + a(49 - 7a + a^2) \]

Рассчитаем каждое произведение по отдельности: \[ 7 \cdot 49 = 343 \] \[ 7 \cdot (-7a) = -49a \] \[ 7 \cdot a^2 = 7a^2 \]

Таким образом, первое произведение: \[ 343 - 49a + 7a^2 \]

Теперь второе произведение: \[ a \cdot 49 = 49a \] \[ a \cdot (-7a) = -7a^2 \] \[ a \cdot a^2 = a^3 \]

Второе произведение: \[ 49a - 7a^2 + a^3 \]

Шаг 2: Сложим результаты раскрытия скобок

Сложим эти результаты: \[ (343 - 49a + 7a^2) + (49a - 7a^2 + a^3) \]

Суммируем:

• Постоянные: \(343\)
• Линейные: \( -49a + 49a = 0 \)
• Квадратичные: \(7a^2 - 7a^2 = 0 \)
• Кубические: \(a^3\)

Получаем: \[ 343 + a^3 \]

Шаг 3: Подставляем обратно в изначальное выражение

Теперь вернемся к исходному выражению: \[ a^3 - (7 + a)(49 - 7a + a^2) \]

Теперь заменим произведение: \[ a^3 - (343 + a^3) \]

Упрощаем: \[ a^3 - 343 - a^3 = -343 \]

Итак, получили, что значение выражения равно \(-343\), что является постоянной и не зависит от \(a\).

Таким образом, выражение действительно не зависит от значения \(a\). Ответ: \(-343\).