На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 1×1 изображён треугольник M N K MNK . Найди длину медианы, проведённой из вершины M M к стороне N K NK .

Для нахождения длины медианы треугольника нужно воспользоваться формулой, связывающей длины сторон треугольника с длиной медианы. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение точек

Пусть точки треугольника \(M\), \(N\), и \(K\) имеют координаты на клетчатой бумаге:

• \(M(x_1, y_1)\)
• \(N(x_2, y_2)\)
• \(K(x_3, y_3)\)

Шаг 2: Найдем середину отрезка \(NK\)

Сначала определим координаты середины отрезка \(NK\). Середина отрезка, соединяющего две точки, \(N\) и \(K\), вычисляется как:

\[ S = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \]

Шаг 3: Вычисление длины медианы

Теперь, чтобы найти длину медианы \(M\) к середине отрезка \(NK\), используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_S, y_S)\):

\[ d = \sqrt{(x_1 - x_S)^2 + (y_1 - y_S)^2} \]

где:

• \(x_S = \frac{x_2 + x_3}{2}\)
• \(y_S = \frac{y_2 + y_3}{2}\)

Шаг 4: Подстановка значений

Подставим значения в формулу для длины медианы:

\[ d = \sqrt{ \left( x_1 - \frac{x_2 + x_3}{2} \right)^2 + \left( y_1 - \frac{y_2 + y_3}{2} \right)^2 } \]

Шаг 5: Пример

Предположим, у нас есть конкретные координаты:

• \(M(2, 3)\)
• \(N(1, 1)\)
• \(K(4, 1)\)

Во-первых, найдем середину отрезка \(NK\):

\[ S = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 1 \right) \]

Теперь вычислим длину медианы \(d\):

\[ d = \sqrt{ \left( 2 - \frac{5}{2} \right)^2 + \left( 3 - 1 \right)^2 } \]

Упрощаем:

\[ = \sqrt{ \left(2 - 2.5\right)^2 + (3 - 1)^2 } \] \[ = \sqrt{ (-0.5)^2 + 2^2 } \] \[ = \sqrt{ 0.25 + 4 } = \sqrt{ 4.25 } = \sqrt{ \frac{17}{4} } = \frac{\sqrt{17}}{2} \]

Таким образом, длина медианы \(M\) к стороне \(NK\) равна \(\frac{\sqrt{17}}{2}\).

Итог

Мы нашли длину медианы, проводимой из вершины треугольника \(M\) к стороне \(NK\), используя формулы для нахождения середины отрезка и длины отрезка.