верно ли это неравенство: 8y(3y-10)<(5y-8)²

Чтобы выяснить, верно ли неравенство \( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 \), давайте сначала упростим каждую сторону неравенства.

Шаг 1: Упростим левую часть неравенства

Левая часть:

\[ 8y(3y - 10) \]

Раскроем скобки:

\[ = 8y \cdot 3y - 8y \cdot 10 = 24y^2 - 80y \]

Шаг 2: Упростим правую часть неравенства

Правая часть:

\[ (5y - 8)^2 \]

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

\[ = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 8 + 8^2 = 25y^2 - 80y + 64 \]

Шаг 3: Приведем все к одной стороне неравенства

Теперь у нас есть неравенство:

\[ 24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64 \]

Переносим все члены в левую сторону:

\[ 24y^2 - 80y - (25y^2 - 80y + 64) < 0 \]

Упрощаем:

\[ 24y^2 - 80y - 25y^2 + 80y - 64 < 0 \] \[ -1y^2 - 64 < 0 \]

Умножим неравенство на \(-1\) и изменим его знак:

\[ y^2 + 64 > 0 \]

Шаг 4: Анализ нового неравенства

Неравенство \( y^2 + 64 > 0 \) верно для всех \( y \), поскольку \( y^2 \) всегда неотрицательно (т.е. \( y^2 \geq 0 \)), а \( 64 \) — положительное число. В сумме они всегда будут больше нуля.

Заключение

Таким образом, неравенство \( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 \) верно для всех значений \( y \).