Чтобы выяснить, верно ли неравенство ( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 ), давайте сначала упростим каждую сторону неравенства.
Шаг 1: Упростим левую часть неравенства
Левая часть:
[
8y(3y - 10)
]
Раскроем скобки:
[
= 8y \cdot 3y - 8y \cdot 10 = 24y^2 - 80y
]
Шаг 2: Упростим правую часть неравенства
Правая часть:
[
(5y - 8)^2
]
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:
[
= (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 8 + 8^2 = 25y^2 - 80y + 64
]
Шаг 3: Приведем все к одной стороне неравенства
Теперь у нас есть неравенство:
[
24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64
]
Переносим все члены в левую сторону:
[
24y^2 - 80y - (25y^2 - 80y + 64) < 0
]
Упрощаем:
[
24y^2 - 80y - 25y^2 + 80y - 64 < 0
]
[
-1y^2 - 64 < 0
]
Умножим неравенство на (-1) и изменим его знак:
[
y^2 + 64 > 0
]
Шаг 4: Анализ нового неравенства
Неравенство ( y^2 + 64 > 0 ) верно для всех ( y ), поскольку ( y^2 ) всегда неотрицательно (т.е. ( y^2 \geq 0 )), а ( 64 ) — положительное число. В сумме они всегда будут больше нуля.
Заключение
Таким образом, неравенство ( 8y(3y - 10) < (5y - 8)^2 ) верно для всех значений ( y ).
