Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Площадь ее поверхности равна 864. Найдите высоту призмы. 3. В основании прямой призмы…

Давайте разберём каждую задачу по отдельности и найдём решения.

Задача 1:

Дано: Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Площадь её поверхности — 864. Найти высоту призмы.

1. Найдём площадь основания: \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \]

2. Найдём длину гипотенузы: \[ c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \]

3. Найдём площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту призмы \(h\).

4. Периметр основания: \[ P_{основания} = 12 + 16 + 20 = 48 \]

5. Площадь боковой поверхности: Пусть \(h\) — высота призмы. Тогда: \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 48h \]

6. Полная площадь поверхности призмы: \[ S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковой} \] Подставим значения: \[ 864 = 2 \times 96 + 48h \] \[ 864 = 192 + 48h \] \[ 48h = 672 \] \[ h = \frac{672}{48} = 14 \]

Ответ: Высота призмы равна 14.

Задача 2:

Дано: В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 30 и 16. Площадь её поверхности — 1976. Найти боковое ребро.

1. Найдём площадь основания: Площадь ромба: \[ S_{основания} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{30 \cdot 16}{2} = 240 \]

2. Боковое ребро равно высоте, если оно перпендикулярно основанию. Пусть \( h \) — боковое ребро. Найдём периметр основания.

3. Длина стороны ромба: \[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

4. Периметр основания: \[ P_{основания} = 4 \cdot a = 4 \cdot 17 = 68 \]

5. Площадь боковой поверхности: \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 68h \]

6. Полная площадь поверхности призмы: \[ S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковой} \] Подставим значения: \[ 1976 = 2 \times 240 + 68h \] \[ 1976 = 480 + 68h \] \[ 68h = 1496 \] \[ h = \frac{1496}{68} = 22 \]

Ответ: Боковое ребро равно 22.

Задача 3:

Дано: Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8, высота призмы — 20. Найти площадь её поверхности.

1. Найдём площадь основания: \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60 \]

2. Найдём длину гипотенузы: \[ c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

3. Периметр основания: \[ P_{основания} = 15 + 8 + 17 = 40 \]

4. Площадь боковой поверхности: \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 40 \times 20 = 800 \]

5. Полная площадь поверхности призмы: \[ S_{полная} = 2 \times S_{основания} + S_{боковой} = 2 \times 60 + 800 = 120 + 800 = 920 \]

Ответ: Площадь поверхности призмы равна 920.