Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Площадь ее поверхности равна 864. Найдите высоту призмы. 3. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 30 и 16. Площадь ее поверхности равна 1976. Найдите боковое ребро

Давайте разберём каждую задачу по отдельности и найдём решения. ### Задача 1: **Дано:** Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Площадь её поверхности — 864. Найти высоту призмы. 1. **Найдём площадь основания:** \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \] 2. **Найдём длину гипотенузы:** \[ c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \] 3. **Найдём площадь боковой поверхности:** Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту призмы \(h\). 4. **Периметр основания:** \[ P_{основания} = 12 + 16 + 20 = 48 \] 5. **Площадь боковой поверхности:** Пусть \(h\) — высота призмы. Тогда: \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 48h \] 6. **Полная площадь поверхности призмы:** \[ S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковой} \] Подставим значения: \[ 864 = 2 \times 96 + 48h \] \[ 864 = 192 + 48h \] \[ 48h = 672 \] \[ h = \frac{672}{48} = 14 \] **Ответ:** Высота призмы равна 14. ### Задача 2: **Дано:** В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 30 и 16. Площадь её поверхности — 1976. Найти боковое ребро. 1. **Найдём площадь основания:** Площадь ромба: \[ S_{основания} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{30 \cdot 16}{2} = 240 \] 2. **Боковое ребро равно высоте, если оно перпендикулярно основанию. Пусть \( h \) — боковое ребро. Найдём периметр основания.** 3. **Длина стороны ромба:** \[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \] 4. **Периметр основания:** \[ P_{основания} = 4 \cdot a = 4 \cdot 17 = 68 \] 5. **Площадь боковой поверхности:** \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 68h \] 6. **Полная площадь поверхности призмы:** \[ S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковой} \] Подставим значения: \[ 1976 = 2 \times 240 + 68h \] \[ 1976 = 480 + 68h \] \[ 68h = 1496 \] \[ h = \frac{1496}{68} = 22 \] **Ответ:** Боковое ребро равно 22. ### Задача 3: **Дано:** Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8, высота призмы — 20. Найти площадь её поверхности. 1. **Найдём площадь основания:** \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60 \] 2. **Найдём длину гипотенузы:** \[ c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \] 3. **Периметр основания:** \[ P_{основания} = 15 + 8 + 17 = 40 \] 4. **Площадь боковой поверхности:** \[ S_{боковой} = P_{основания} \times h = 40 \times 20 = 800 \] 5. **Полная площадь поверхности призмы:** \[ S_{полная} = 2 \times S_{основания} + S_{боковой} = 2 \times 60 + 800 = 120 + 800 = 920 \] **Ответ:** Площадь поверхности призмы равна 920.