В треугольнике ABC угол с равен 90°, высота CD равна 3 см, угол А равен 30°. Найди площадь треугольника авс, деленную на √3
Чтобы найти площадь треугольника ABC с заданными параметрами, следуем пошагово.
Обозначим данные:
- Угол C = 90° (треугольник прямоугольный).
- Высота CD = 3 см.
- Угол A = 30°.
Определим стороны: В треугольнике ABC угол A = 30°, угол B = 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то 180° - 90° - 30° = 60°). Углы 30° и 60° имеют известные соотношения в прямоугольном треугольнике.
Используем свойства прямоугольного треугольника: Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30°:
- Противолежащая сторона (AC) к углу A равна половине гипотенузы (AB): AC = (1/2) * AB.
- Противолежащая сторона (BC) к углу B равна (√3/2) * AB: BC = (√3/2) * AB.
Выразим стороны через высоту: Высота CD делит основание AB на две части. Используя свойства высоты в прямоугольном треугольнике, можем написать: \[ [ABC] = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \] Здесь [ABC] — это площадь треугольника.
Найдем сторону AB: Для высоты CD из прямоугольного треугольника, где CD = 3 см: \[ CD = AC \cdot \sin(30°) = AC \cdot \frac{1}{2} \] Следовательно, AC = 3 см. Теперь, используя отношение для góna B: \[ AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} \]
Теперь найдем BC: По формуле: \[ BC = \sqrt{3}/2 \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Найдем площадь треугольника ABC: Подставим величины в формулу для площади: \[ [ABC] = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \text{ см}^2 \]
Теперь делим площадь на √3: \[ \frac{[ABC]}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Ответ: Площадь треугольника ABC, деленная на √3, равна \( 3\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
