18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно…

Дано, что ABCD - прямоугольная трапеция, где AD и BC - основания, и угол A равен 45°. Мы знаем, что AC является биссектрисой угла A. Обозначим основание AD как \( a \) (меньшее основание) и основание BC как \( b \) (большее основание). У нас имеется:

1. \( a = 10\sqrt{2} \)
2. Угол A равен \( 45^\circ \)

Поскольку AC является биссектрисой, то по свойству биссектрисы в трапеции:

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \]

Так как угол A равен 45°, то при правильном построении, мы можем установить следующие соотношения.

Пусть высота трапеции равна \( h \). Вводя координаты, вы можете представить трапецию следующим образом:

• \( A(0, 0) \)
• \( D(a, 0) \)
• \( B(0, h) \)
• \( C(b, h) \)

Так как угол A равен 45°, то высота \( h \) также равна \( a \), и тогда можем записать:

\[ h = 10\sqrt{2} \]

Теперь мы можем найти длину большего основания BC, используя соотношение сторон. Поскольку \( AC \) является биссектрисой, и угол A равен 45°, то:

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow AB = AD = a \]

Так как у нас одинаковые углы и равные стороны \( AB \) и \( AD \):

\[ BC = h + a = 10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \]

Теперь мы можем найти длину диагонали BD с помощью теоремы Пифагора. Пусть \( D(a, 0) \) и \( B(0, h) \):

\[ BD = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 200} = \sqrt{400} = 20 \]

Таким образом, длина диагонали BD равна:

\[ \boxed{20} \]