Производится серия из 10 испытаний с вероятностью успеха p=0,3 что более вероятно: ровно 4 успеха или ровно 5 успехов?

Чтобы решить задачу, нам нужно использовать формулу для вычисления вероятности успеха в биномиальных экспериментах. Мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний, вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( (1 - p) \) — вероятность неудачи.

В данной задаче:

• \( n = 10 \) (число испытаний),
• \( p = 0.3 \) (вероятность успеха).

Теперь посчитаем вероятность для 4 успехов (\( k = 4 \)):

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^6 \]

Сначала вычисляем биномиальный коэффициент:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^6 \] \[ = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \] \[ \approx 210 \cdot 0.0009525601 \approx 0.200120 \]

Теперь вычислим вероятность для 5 успехов (\( k = 5 \)):

\[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5 \]

Считаем биномиальный коэффициент для \( k = 5 \):

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5 \] \[ = 252 \cdot 0.0243 \cdot 0.16807 \] \[ \approx 252 \cdot 0.004084706 \approx 1.028141 \]

Теперь у нас есть вероятности для ровно 4 и 5 успехов:

• \( P(X = 4) \approx 0.200120 \)
• \( P(X = 5) \approx 0.102847 \)

Сравнив эти значения, можем сделать вывод:

• Вероятность получить ровно 4 успеха больше чем вероятность получить ровно 5 успехов, поэтому более вероятно, что в 10 испытаниях будет ровно 4 успеха.