Дан равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = 4. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Для начала давайте разберем задачу. У нас есть равносторонний треугольник ABC с длиной стороны AB = 4. Необходимо найти скалярное произведение векторов AB и AC. ### Шаг 1: Определение векторов Рассмотрим треугольник ABC: 1. Установим координаты его вершин. - Пусть точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \). - Точка B будет находиться на оси X: \( B(4, 0) \). - Точка C, так как треугольник равносторонний, будет находиться на равном расстоянии от A и B, а также под углом 60 градусов к AB. ### Шаг 2: Определение координат точки C Для нахождения координат точки C, используем свойства равностороннего треугольника: - Если сторона A = 4, то координата C будет у нас следующим образом: Чтобы найти координаты C, нужно рассмотреть треугольник ABC с углами 60° и использовать тригонометрию: \[ C_x = A_x + L \cdot \cos(60^\circ) = 0 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \] \[ C_y = A_y + L \cdot \sin(60^\circ) = 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] Таким образом, координаты точки C: \( C(2, 2\sqrt{3}) \). ### Шаг 3: Найдем векторы AB и AC Теперь найдем векторы AB и AC: - Вектор \( \vec{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0) \) - Вектор \( \vec{AC} = C - A = (2, 2\sqrt{3}) - (0, 0) = (2, 2\sqrt{3}) \) ### Шаг 4: Скалярное произведение Теперь можем найти скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y \] Подставим координаты: - \( AB_x = 4, AB_y = 0 \) - \( AC_x = 2, AC_y = 2\sqrt{3} \) Таким образом, вычтем: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3} = 8 + 0 = 8 \] ### Ответ Скалярное произведение векторов \( AB \) и \( AC \) равно 8.