Дан равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = 4. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Для начала давайте разберем задачу. У нас есть равносторонний треугольник ABC с длиной стороны AB = 4. Необходимо найти скалярное произведение векторов AB и AC.

Шаг 1: Определение векторов

Рассмотрим треугольник ABC:

1. Установим координаты его вершин.
   • Пусть точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \).
   • Точка B будет находиться на оси X: \( B(4, 0) \).
   • Точка C, так как треугольник равносторонний, будет находиться на равном расстоянии от A и B, а также под углом 60 градусов к AB.

Шаг 2: Определение координат точки C

Для нахождения координат точки C, используем свойства равностороннего треугольника:

• Если сторона A = 4, то координата C будет у нас следующим образом: Чтобы найти координаты C, нужно рассмотреть треугольник ABC с углами 60° и использовать тригонометрию:

  \[ C_x = A_x + L \cdot \cos(60^\circ) = 0 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

  \[ C_y = A_y + L \cdot \sin(60^\circ) = 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Таким образом, координаты точки C: \( C(2, 2\sqrt{3}) \).

Шаг 3: Найдем векторы AB и AC

Теперь найдем векторы AB и AC:

• Вектор \( \vec{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0) \)
• Вектор \( \vec{AC} = C - A = (2, 2\sqrt{3}) - (0, 0) = (2, 2\sqrt{3}) \)

Шаг 4: Скалярное произведение

Теперь можем найти скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y \]

Подставим координаты:

• \( AB_x = 4, AB_y = 0 \)
• \( AC_x = 2, AC_y = 2\sqrt{3} \)

Таким образом, вычтем: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3} = 8 + 0 = 8 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \( AB \) и \( AC \) равно 8.