Сергею задали 6 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Сергей решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Сопоставьте условие задачи с ответом. Найдите вероятность…

Чтобы решить задачу о вероятности, воспользуемся распределением Бернулли, так как мы имеем дело с независимыми событиями – решением задач Сергеем.

Имейте в виду, что:

• n — количество задач (n = 6)
• p — вероятность решения каждой задачи (p = 0.75)
• q — вероятность не решения задачи (q = 1 - p = 0.25)

Мы будем использовать формулу для расчета вероятности успеха в n независимых испытаниях:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где:

• \(C(n, k)\) — коэффициент сочетания, который можно вычислить как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(X\) — случайная величина, представляющая количество решенных задач.

1. Вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач

Это выражение можно записать как \(P(X \geq 3)\). Это можно найти, использовав формулу:

\[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \]

Теперь найдем каждую из этих вероятностей:

a) \(P(X = 3)\)

\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^{3} \]

\(C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = 20\)

Подставляем:

\[ P(X = 3) = 20 \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^3 = 20 \cdot 0.421875 \cdot 0.015625 = 0.1318359375 \]

b) \(P(X = 4)\)

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.75)^4 \cdot (0.25)^{2} \]

\(C(6, 4) = 15\)

Подставляем:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.75)^4 \cdot (0.25)^2 = 15 \cdot 0.31640625 \cdot 0.0625 = 0.296630859375 \]

c) \(P(X = 5)\)

\[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0.75)^5 \cdot (0.25)^{1} \]

\(C(6, 5) = 6\)

Подставляем:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot (0.75)^5 \cdot (0.25) = 6 \cdot 0.2373046875 \cdot 0.25 = 0.355220794677734375 \]

d) \(P(X = 6)\)

\[ P(X = 6) = C(6, 6) \cdot (0.75)^6 \cdot (0.25)^{0} \]

\(C(6, 6) = 1\)

Подставляем:

\[ P(X = 6) = 1 \cdot (0.75)^6 = 0.17803125 \]

Теперь суммируем:

\[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \] \[ = 0.1318359375 + 0.296630859375 + 0.355220794677734375 + 0.17803125 \approx 0.961718 \]

2. Вероятность того, что Сергей решит все задачи

Это просто:

\[ P(X = 6) = 0.17803125 \]

3. Вероятность того, что Сергей решит менее 3 задач

Теперь найдём \(P(X < 3)\), что можно выразить как:

\[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

a) \(P(X = 0)\)

\[ P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000244140625 = 0.000244140625 \]

b) \(P(X = 1)\)

\[ P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.75)^1 \cdot (0.25)^{5} \] \[ C(6, 1) = 6 \] \[ P(X = 1) = 6 \cdot 0.75 \cdot 0.0009765625 = 0.00439453125 \]

c) \(P(X = 2)\)

\[ P(X = 2) = C(6, 2) \cdot (0.75)^2 \cdot (0.25)^{4} \] \[ C(6, 2) = 15 \] \[ P(X = 2) = 15 \cdot (0.75)^2 \cdot (0.25)^{4} = 15 \cdot 0.5625 \cdot 0.00390625 \approx 0.02294921875 \]

Теперь суммируем:

\[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ = 0.000244140625 + 0.00439453125 + 0.02294921875 \approx 0.027587890625 \]

Сопоставление с ответами

Теперь сравним результаты с представленными вариантами:

• Вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач: примерно \(0.961718\)
• Вероятность того, что Сергей решит все задачи: примерно \(0.17803125\)
• Вероятность того, что Сергей решит менее 3 задач: примерно \(0.027587890625\)

С соответствии с ответами, те вероятности, которые были вычислены, соответствуют:

• \(P(X < 3) \approx \frac{347}{2048}\)
• Вероятность того, что Сергей решит все задачи, пропущена.
• Вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач, близка к \( \frac{729}{4096} \).

Конкретные цифры могут быть округлены, но принцип вычисления вероятностей остается верным. Надеюсь, это помогает понять задачу!