3. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение для поля прямолинейного проводника с током
Закон Био-Савара-Лапласа описывает, как магнитное поле создаётся электрическим током. Этот закон может быть применен для расчёта магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с током.
Формулировка закона Био-Савара-Лапласа
Закон звучит следующим образом:
\[ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} \]
где:
- \(\mathbf{B}\) – магнитное поле,
- \(\mu_0\) – магнитная проницаемость вакуума (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, Т \cdot м/А\)),
- \(I\) – ток в проводнике,
- \(d\mathbf{l}\) – элемент длины проводника,
- \(\mathbf{r}\) – вектор, который направлен от элемента тока \(d\mathbf{l}\) к точке, где измеряется магнитное поле,
- \(r\) – расстояние от элемента тока \(d\mathbf{l}\) до точки измерения.
Применение для прямолинейного проводника
Теперь давайте рассмотрим случай бесконечно длинного прямолинейного проводника с током \(I\). Мы можем определить магнитное поле вокруг этого проводника.
Сформулировать задачу: Рассмотрим проводник, по которому течёт ток \(I\). Нам нужно найти магнитное поле \(B\) на расстоянии \(r\) от проводника.
Определение элементарного магнитного поля: Для каждого элемента проводника \(d\mathbf{l}\) мы используем закон Био-Савара, где элемент длины \(d\mathbf{l}\) направлен вдоль провода.
Векторное произведение: Векторное произведение \(d\mathbf{l} \times \mathbf{r}\) даёт направление магнитного поля. Оно будет направлено по правилам правой руки: если вы обхватите проводник правой рукой, и ваш большой палец указывает в направлении тока, то ваши закруглённые пальцы укажут направление магнитного поля.
Определение магнитного поля: Для бесконечно длинного проводника на расстоянии \(r\) от него магнитное поле можно выразить как:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
где:
- \(B\) – магнитное поле на расстоянии \(r\),
- \(I\) – ток в проводнике,
- \(r\) – расстояние от проводника до точки, где измеряем магнитное поле.
Пример
Допустим, у нас есть проводник, по которому течёт ток \(I = 5 \, А\), и мы хотим найти магнитное поле на расстоянии \(r = 0.1 \, м\).
- Подставим данные в формулу:
\[ B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, Т \cdot м/А) \cdot 5 \, А}{2\pi \cdot 0.1 \, м} \]
- Упрощая уравнение, получаем:
\[ B = \frac{(4 \times 10^{-7}) \cdot 5}{0.2} = (2 \times 10^{-6}) \, Т = 2 \, \mu T \]
Таким образом, магнитное поле на расстоянии 0.1 метра от проводника с током 5 А составляет 2 микротесла.
Заключение
Закон Био-Савара-Лапласа позволяет понять и вычислить магнитное поле, создаваемое проводниками с током. Зная ток и расстояние до проводника, мы можем легко рассчитать магнитное поле вокруг него.
