Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписании занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день?
Чтобы найти, сколькими способами можно составить расписание на каждый день с 12 дисциплинами, при условии, что каждый день включается по 3 предмета, мы применим комбинации.
Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем 12 различных предметов, и нам нужно выбрать 3 из них. Порядок выбора не важен, то есть комбинации.
Шаг 2: Формула для вычисления комбинаций
Формула для вычисления числа комбинаций (выборов) из \( n \) элементов по \( k \) элементов выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
Где:
- \( n! \) — факториал числа \( n \)
- \( k! \) — факториал числа \( k \)
- \( (n - k)! \) — факториал числа \( n - k \)
Шаг 3: Подстановка значений
В нашей задаче:
- \( n = 12 \) (общее количество предметов)
- \( k = 3 \) (количество предметов, выбираемых каждый день)
Подставим эти значения в формулу:
\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]
Шаг 4: Упрощение
Зная, что \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! \), мы можем упростить выражение:
\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} \]
Теперь вычислим \( 3! \):
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Подставляем это значение обратно:
\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \]
Шаг 5: Вычисление
Теперь давайте произведем расчёты:
- Сначала найдем произведение \( 12 \times 11 \times 10 = 1320 \).
- Затем разделим на 6:
\[ C(12, 3) = \frac{1320}{6} = 220 \]
Ответ
Таким образом, расписание занятий на каждый день можно составить 220 способами.
