Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 3x^4 - 5x^2 ), нам нужно проделать несколько шагов. Первообразная — это функция, производная которой равна ( f(x) ).
Шаг 1: Напомним правило нахождения первообразной
Для стандартной степени ( x^n ) первообразная вычисляется по формуле:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Применим правило к каждому члену
Теперь применим это правило к каждому из членов функции ( f(x) ):
Для первого члена ( 3x^4 ):
[
\int 3x^4 , dx = 3 \cdot \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} = 3 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{3x^5}{5}
]
Для второго члена ( -5x^2 ):
[
\int -5x^2 , dx = -5 \cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} = -5 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{5x^3}{3}
]
Шаг 3: Сложим найденные первообразные
Теперь объединим результаты для получения полной первообразной:
[
\int f(x) , dx = \frac{3x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + C
]
Где ( C ) — произвольная константа.
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 3x^4 - 5x^2 ) равна:
[
F(x) = \frac{3x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
