Реши
Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) квадратный трёхчлен \( 2x^2 + x + a \) принимает только положительные значения, нужно убедиться, что квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и возрастает или является положительным на всей числовой оси.
Рассмотрим шаги решения:
Нахождение дискриминанта:
Вычислим дискриминант \( D \) квадратного трёхчлена \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = a \): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a \]
Условия отсутствия действительных корней:
Для того чтобы трёхчлен не имел действительных корней, требуется \( D < 0 \): \[ 1 - 8a < 0 \\ 1 < 8a \\ a > \frac{1}{8} \]
Коэффициент при \( x^2 \):
Коэффициент при \( x^2 \) (или старший коэффициент), равен 2, и он положительный, что значит, что парабола ветвями вверх.
Таким образом, трёхчлен \( 2x^2 + x + a \) будет принимать только положительные значения, если:
\[ a > \frac{1}{8} \]
Это условие гарантирует, что дискриминант меньше нуля, и трёхчлен не пересекает ось абсцисс.
