Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Чтобы решить задачу о вероятности произведения чисел на карточках, давайте подробно разберем все шаги.

1. Определение простого числа: Простое число — это натуральное число, большее единицы, которое делится только на 1 и само на себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. Первое простое число — это 2.

2. Набор карточек: Каждый из трех участников (Петя, Вася и Толя) имеет одинаковый набор карточек: 1, 4, 5, 6, 13.

3. Подсчет всех возможных произведений: Каждому участнику нужно выбрать по одной карточке. Если у нас три участника, и каждый может выбрать одну из пяти карточек, общее количество возможных комбинаций карточек будет: \[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \]

4. Условия для получения простого произведения: Произведение чисел будет простым числом только в случае, если одно из чисел выбрано — это простое число, а остальные два числа должны быть 1 (поскольку произведение с 1 не изменит результат, а 1 само по себе не является простым числом).

Теперь давайте определим, какие числа в нашем наборе карточек являются простыми:

• 1 — не простое.
• 4 — не простое, это 2^2.
• 5 — простое.
• 6 — не простое, это 2 * 3.
• 13 — простое.

Таким образом, из этого набора простыми числами являются 5 и 13.

5. Рассмотрим все случаи: Теперь мы будем искать все возможные комбинации, при которых произведение будет простым.

• Случай 1: Один из участников выбирает 5 (простое число), а другие два выбирают 1:

  • (5, 1, 1)
  • Возможные комбинации:
    1. Петя выбирает 5, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1.
    2. Петя выбирает 1, Вася выбирает 5, Толя выбирает 1.
    3. Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 5.

  Всего таких комбинаций: 3 (т.е. 3!/(2!1!) = 3)

• Случай 2: Один из участников выбирает 13 (простое число), а другие два выбирают 1:

  • (13, 1, 1)
  • Возможные комбинации:
    1. Петя выбирает 13, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1.
    2. Петя выбирает 1, Вася выбирает 13, Толя выбирает 1.
    3. Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 13.

  Всего таких комбинаций: 3 (по аналогии с предыдущим).

Итак, общее количество благоприятных случаев будет \(3 + 3 = 6\).

6. Подсчет вероятности: Теперь мы можем рассчитать вероятность, используя формулу: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6}{125} \]

Ответ: Вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \( \frac{6}{125} \).