На полке стоят 10 книг, среди которых есть словарь. Сколькими способами читатель может выбрать 4 книги, если: а) словарь ему нужен обязательно; б) словарь ему не нужен.

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

У нас есть 10 книг, среди которых одна из них — словарь. Мы будем рассматривать два случая: (а) когда словарь обязательно нужно взять, и (б) когда он не нужен.

(а) Словарь нужен обязательно

1. Выбор словаря: Поскольку словарь обязательный, мы начинаем с того, что он будет выбран. Таким образом, из 4 книг, которые нам нужно выбрать, одна уже выбрана — словарь.

2. Остальные книги: Теперь нам нужно выбрать 3 книги из оставшихся 9 (потому что 10 - 1 = 9, так как мы уже выбрали словарь).

3. Комбинаторика: Количество способов выбрать 3 книги из 9 можно посчитать с помощью комбинаций. Формула для числа сочетаний (или комбинаций) из \( n \) по \( k \) выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае \( n = 9 \) (оставшиеся книги) и \( k = 3 \) (книги, которые нужно выбрать).

   Подставляем значения: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \]

   Вычислим:

   • \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (заметим, что \( 6! \) сокращается)
   • \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

   Теперь подставляем: \[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84 \]

Таким образом, если словарь нужен обязательно, читатель может выбрать 4 книги 84 способами.

(б) Словарь не нужен

1. Выбор книг: В этом случае нам нужно выбрать 4 книги, не ограничиваясь выбором словаря. У нас все еще 10 книг, и мы можем выбрать любые 4 из них.

2. Снова используем формулу для комбинаций: Мы выбираем 4 книги из 10. То есть, здесь \( n = 10 \) и \( k = 4 \).

   Подставляем значения: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

   Вычислим:

   • \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (опять \( 6! \) сокращается)
   • \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

   Теперь подставляем: \[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Таким образом, если словарь не нужен, читатель может выбрать 4 книги 210 способами.

Ответ

• (а) 84 способа, если словарь нужен обязательно.
• (б) 210 способов, если словарь не нужен.