На числовой прямой даны три отрезка: P  =  [24; 77], Q [47; 92] и R  =  [82; 116]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого формула (¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R)))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х)

Для решения этой задачи необходимо внимательно проанализировать формулу и отрезки. Давайте разберёмся с условием. 1. **Анализ отрезков**: - \( P = [24; 77] \) - \( Q = [47; 92] \) - \( R = [82; 116] \) Мы можем изобразить эти отрезки на числовой прямой для лучшего понимания их пересечений и расположения относительно друг друга. * Расположение: ``` |----[P]------|----[Q]------|_____________________[R]-----| 24 47 77 82 92 ``` 2. **Разбор формулы**: Формула, которую нам нужно проанализировать: \[ (¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) \] Начнём с того, что \( A \) — это отрезок, длину которого нам нужно минимизировать. Рассмотрим сначала часть \( ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R))) \). С помощью логики можем преобразовать следующее: - \( (x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) \) эквивалентно \( ¬(x ∈ Q) ∨ ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) \) - Поэтому \( ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R))) \) эквивалентно \( (x ∈ Q) ∧ ¬((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) \). Это означает, что \( x \) принадлежит отрезку \( Q \), но не принадлежит \( P \) и \( R \). То есть, \( x \) должно находиться в диапазоне от 47 до 77 (не входя в \( P \)). 3. **Контекст для \( A \)**: Теперь нам нужно рассмотреть часть \( ¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q) \). Это означает, что если \( x \) не принадлежит отрезку \( A \), то \( x \) не должно принадлежать \( Q \). То есть, \( A \) должен закрыть отрезок \( Q \) (47 до 92) так, чтобы в оставшихся значениях \( x \) не было элементов, принадлежащих \( Q \). 4. **Определение отрезка \( A \)**: По условиям, чтобы формула была тождественно истинной, \( A \) должен охватывать все значения, которые находятся в \( Q \) и пересекаются с \( P \) и \( R \). Таким образом, минимальный отрезок \( A \) должен охватывать границы отрезка \( Q \): - Начало: 47 (левый конец \( Q \)) - Конец: 92 (правый конец \( Q \)) Таким образом, минимальная длина отрезка \( A \): \[ \text{Длина} = 92 - 47 = 45 \] 5. **Ответ**: Наименьшая возможная длина отрезка \( A \), для которого формула тождественно истинна, составляет 45.