адание 2. Бросают двенадцатигранную игральную кость. Успехом считается выпадение числа, большего 5. Перечислите элементарные события, которые являются благоприятствующими для успеха.
Задание 16. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Какова вероятность того, что будет сделано: а) 2 броска; б) 3 броска; в) 4 броска?
Задание 19. Старый принтер печатает документ с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что получится распечатать документ: а) с третьей попытки; б) менее, чем с четвертой попытки; в) не более, чем с четвертой попытки?
Задание 5. Шахматист, играя в шахматы, выигрывает с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в последовательности партий он: а) выиграет с третьей попытки; б) выиграет с третьей или четвертной попытки; в) выиграет не ранее, чем с третьей попытки?
Давайте рассмотрим каждое задание по порядку и разберем его с пояснениями.
### Задание 2:
**Условие:** Бросают двенадцатигранную игральную кость. Успехом считается выпадение числа, большего 5. Перечислите элементарные события, которые являются благоприятствующими для успеха.
#### Решение:
1. **Определение события.** Двенадцатигранная игральная кость имеет грани с числами от 1 до 12.
2. **Условия успеха.** Успешными будем считать числа, превышающие 5. Это следующее:
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
3. **Записать элементарные события.** Элементарные события, благоприятствующие нашему успеху: {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Таким образом, результаты броска, которые являются успешными, — это 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.
---
### Задание 16:
**Условие:** Монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Какова вероятность того, что будет сделано: а) 2 броска; б) 3 броска; в) 4 броска?
#### Решение:
1. **Вероятности.** Вероятность выпадения орла (О) = 0.5, вероятность выпадения решки (Р) = 0.5.
2. **Определение событий.**
- а) Для 2 бросков: в первом броске должен выпасть орел (О), а во втором — решка (Р):
\[
P(2 \text{ броска}) = P(O) \cdot P(R) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25
\]
- б) Для 3 бросков: в первых двух бросках должны выпасть орлы, а в третьем — решка:
\[
P(3 \text{ броска}) = P(O) \cdot P(O) \cdot P(R) = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125
\]
- в) Для 4 бросков: в первых трех бросках — орлы, в четвертом — решка:
\[
P(4 \text{ броска}) = P(O) \cdot P(O) \cdot P(O) \cdot P(R) = 0.5^4 = 0.0625
\]
Таким образом:
- а) 2 броска: 0.25
- б) 3 броска: 0.125
- в) 4 броска: 0.0625
---
### Задание 19:
**Условие:** Старый принтер печатает документ с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что получится распечатать документ: а) с третьей попытки; б) менее, чем с четвертой попытки; в) не более, чем с четвертой попытки?
#### Решение:
1. **Вероятности.** Вероятность успешной печати (П) = 0.6, вероятность неудачи (Н) = 0.4.
2. **Определение событий.**
- а) Получить распечатку с третьей попытки: 2 неудачи и затем успех:
\[
P(3 \text{ попытки}) = P(N) \cdot P(N) \cdot P(P) = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 0.096
\]
- б) Менее, чем с четвертой попытки: успех на 1-й, 2-й или 3-й попытке:
\[
P(1 \text{ попытка}) = P(P) = 0.6
\]
\[
P(2 \text{ попытки}) = P(N) \cdot P(P) = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24
\]
\[
P(3 \text{ попытки}) = 0.096 \; \text{(из предыдущего)}
\]
Суммируем:
\[
P(< 4 \text{ попыток}) = 0.6 + 0.24 + 0.096 = 0.936
\]
- в) Не более, чем с четвертой попытки: успех на 1-й, 2-й, 3-й или 4-й попытке:
\[
P(4 \text{ попытки}) = P(N) \cdot P(N) \cdot P(N) \cdot P(P) = 0.4^3 \cdot 0.6 = 0.064
\]
Соответственно:
\[
P(\leq 4 \text{ попыток}) = 0.936 + 0.064 = 1.0
\]
Таким образом:
- а) с третьей попытки: 0.096
- б) менее, чем с четвертой попытки: 0.936
- в) не более, чем с четвертой попытки: 1.0
---
### Задание 5:
**Условие:** Шахматист, играя в шахматы, выигрывает с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в последовательности партий он: а) выиграет с третьей попытки; б) выиграет с третьей или четвертной попытки; в) выиграет не ранее, чем с третьей попытки?
#### Решение:
1. **Вероятности.** Вероятность победы (В) = 0.4, вероятность поражения (П) = 0.6.
2. **Определение событий.**
- а) Выиграть с третьей попытки: 2 поражения и затем победа:
\[
P(3 \text{ попытки}) = P(П) \cdot P(П) \cdot P(В) = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.144
\]
- б) Выиграть с третьей или четвертой попытки: для 4-й попытки — 3 поражения и затем победа:
\[
P(4 \text{ попытки}) = P(П) \cdot P(П) \cdot P(П) \cdot P(В) = 0.6^3 \cdot 0.4 = 0.0864
\]
Суммируем:
\[
P(3 \text{ или } 4) = 0.144 + 0.0864 = 0.2304
\]
- в) Выиграть не ранее, чем с третьей попытки:это означает, что выигрыша не будет на первых двух попытках, поэтому:
\[
P(не ранее, чем с 3) = 0.144 + 0.0864 = 0.2304
\]
(Сначала не выигрывать на первых двух, затем выигрывать после).
Таким образом:
- а) с третьей попытки: 0.144
- б) с третьей или четвертной попытки: 0.2304
- в) не ранее, чем с третьей попытки: 0.2304
---
Если у вас есть дополнительные вопросы или задания, не стесняйтесь задавать их!
