x³(2-x⁴)³dx

Давайте разберём задачу по шагам. Нам нужно решить интеграл \( \int x^3 (2 - x^4)^3 \, dx \).

Шаг 1: Упрощение интеграла

Для начала давайте воспользуемся заменой переменной. Заметим, что второй множитель \( (2 - x^4) \) может быть проще интегрировать, если введём замену:

Пусть \( u = 2 - x^4 \). Тогда \( du = -4x^3 \, dx \), что значит \( dx = \frac{du}{-4x^3} \).

Теперь мы можем переписать \( x^3 \, dx \): \[ x^3 \, dx = -\frac{1}{4} \, du \]

Также нам нужно выразить \( (2 - x^4)^3 \) в терминах \( u \): \[ (2 - x^4)^3 = u^3 \]

Шаг 2: Замена в интеграле

Теперь наш интеграл можно переписать как: \[ \int x^3 (2 - x^4)^3 \, dx = \int u^3 \left(-\frac{1}{4} \, du\right) = -\frac{1}{4} \int u^3 \, du \]

Шаг 3: Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать: \[ -\frac{1}{4} \int u^3 \, du = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^4}{4} + C = -\frac{1}{16} u^4 + C \]

Шаг 4: Подстановка обратно

Теперь подставим обратно \( u = 2 - x^4 \): \[ -\frac{1}{16} (2 - x^4)^4 + C \]

Итоговый ответ

Таким образом, интеграл \[ \int x^3 (2 - x^4)^3 \, dx = -\frac{1}{16} (2 - x^4)^4 + C \]

Где \( C \) - произвольная константа интегрирования.

Вы можете проверить правильность ответа, продифференцировав полученную функцию и убедившись, что получите исходное выражение \( x^3 (2 - x^4)^3 \).