Как изменится период свободных колебаний в колебатель-ном контуре, если конденсатор в нем заменить батареей из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов?
Чтобы понять, как изменится период свободных колебаний в колебательном контуре при замене конденсатора на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов, давайте рассмотрим основные параметры и формулы.
Основные параметры колебательного контура
Колебательный контур состоит из индуктивности \( L \) и ёмкости \( C \). Период свободных колебаний \( T \) в таком контуре можно вычислить с использованием следующей формулы:
\[ T = 2\pi \sqrt{L \cdot C} \]
где:
- \( T \) — период колебаний,
- \( L \) — индуктивность катушки,
- \( C \) — ёмкость конденсатора.
Замена конденсатора
Исходный вариант: Обозначим ёмкость исходного конденсатора как \( C \).
- В этом случае период колебаний будет равен: \[ T_0 = 2\pi \sqrt{L \cdot C} \]
Новый вариант: Теперь заменим конденсатор на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов. Когда ёмкости соединяются последовательно, общая ёмкость \( C_{eq} \) вычисляется по формуле: \[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \] Для двух одинаковых конденсаторов мы можем записать: \[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2} \]
Новый период колебаний
Теперь подставим новую ёмкость \( C_{eq} \) в формулу для периода: \[ T_{new} = 2\pi \sqrt{L \cdot C_{eq}} = 2\pi \sqrt{L \cdot \frac{C}{2}} = 2\pi \sqrt{\frac{L \cdot C}{2}} \]
Теперь сравним старый и новый период колебаний:
\[ T_{new} = \frac{T_0}{\sqrt{2}} \]
Вывод
Таким образом, период свободных колебаний в колебательном контуре при замене конденсатора на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов уменьшится, и получим:
\[ T_{new} = \frac{T_0}{\sqrt{2}} \]
Это означает, что новый период будет корень из 2 раз меньше первоначального периода.
