Чтобы понять, как изменится период свободных колебаний в колебательном контуре при замене конденсатора на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов, давайте рассмотрим основные параметры и формулы.
Основные параметры колебательного контура
Колебательный контур состоит из индуктивности ( L ) и ёмкости ( C ). Период свободных колебаний ( T ) в таком контуре можно вычислить с использованием следующей формулы:
[
T = 2\pi \sqrt{L \cdot C}
]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( L ) — индуктивность катушки,
- ( C ) — ёмкость конденсатора.
Замена конденсатора
Исходный вариант: Обозначим ёмкость исходного конденсатора как ( C ).
- В этом случае период колебаний будет равен:
[
T_0 = 2\pi \sqrt{L \cdot C}
]
Новый вариант: Теперь заменим конденсатор на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов. Когда ёмкости соединяются последовательно, общая ёмкость ( C_{eq} ) вычисляется по формуле:
[
\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
]
Для двух одинаковых конденсаторов мы можем записать:
[
\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2}
]
Новый период колебаний
Теперь подставим новую ёмкость ( C_{eq} ) в формулу для периода:
[
T_{new} = 2\pi \sqrt{L \cdot C_{eq}} = 2\pi \sqrt{L \cdot \frac{C}{2}} = 2\pi \sqrt{\frac{L \cdot C}{2}}
]
Теперь сравним старый и новый период колебаний:
[
T_{new} = \frac{T_0}{\sqrt{2}}
]
Вывод
Таким образом, период свободных колебаний в колебательном контуре при замене конденсатора на батарею из двух последовательно соединенных таких же конденсаторов уменьшится, и получим:
[
T_{new} = \frac{T_0}{\sqrt{2}}
]
Это означает, что новый период будет корень из 2 раз меньше первоначального периода.
