В треугольнике ABС известно, что AВ = 8, BC = 10, cos ZABC = 0,125, Найдите AС.
Для решения задачи нам нужно найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с известными длинами сторон \( AB = 8 \), \( BC = 10 \) и значением косинуса угла \( \cos \angle ABC = 0.125 \).
Шаг 1: Используем теорему косинусов
Теорема косинусов позволяет нам связать длины сторон треугольника и косинус одного из углов следующим образом:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где:
- \( c \) — длина стороны, противолежащей углу \( C \),
- \( a \) и \( b \) — длины двух других сторон,
- \( \cos(C) \) — косинус угла \( C \).
Шаг 2: Обозначим стороны
В нашем случае:
- \( AB = c = 8 \)
- \( BC = a = 10 \)
- \( AC = b \) (это то, что мы хотим найти)
- \( \cos \angle ABC = 0.125 \)
Применяя теорему косинусов, мы можем записать:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]
Шаг 3: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в формулу:
\[ b^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125 \]
Шаг 4: Вычислений
- Вычислим \( 8^2 = 64 \).
- Вычислим \( 10^2 = 100 \).
- Теперь вычислим \( 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125 \):
\[ 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125 = 16 \cdot 0.125 = 2 \]
- Подставим все результаты в формулу:
\[ b^2 = 64 + 100 - 2 = 162 \]
Шаг 5: Найдем \( AC \)
Теперь нам остается вычислить длину стороны \( AC \):
\[ AC = \sqrt{162} \]
Шаг 6: Упростим
Скорректируем значение:
\[ \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2} \]
Ответ
Итак, длина стороны \( AC \) составляет \( 9\sqrt{2} \) или примерно \( 12.73 \) в десятичном представлении.
