Для решения задачи нам нужно найти длину стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) с известными длинами сторон ( AB = 8 ), ( BC = 10 ) и значением косинуса угла ( \cos \angle ABC = 0.125 ).
Шаг 1: Используем теорему косинусов
Теорема косинусов позволяет нам связать длины сторон треугольника и косинус одного из углов следующим образом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где:
- ( c ) — длина стороны, противолежащей углу ( C ),
- ( a ) и ( b ) — длины двух других сторон,
- ( \cos(C) ) — косинус угла ( C ).
Шаг 2: Обозначим стороны
В нашем случае:
- ( AB = c = 8 )
- ( BC = a = 10 )
- ( AC = b ) (это то, что мы хотим найти)
- ( \cos \angle ABC = 0.125 )
Применяя теорему косинусов, мы можем записать:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)
]
Шаг 3: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в формулу:
[
b^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125
]
Шаг 4: Вычислений
- Вычислим ( 8^2 = 64 ).
- Вычислим ( 10^2 = 100 ).
- Теперь вычислим ( 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125 ):
[
2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0.125 = 16 \cdot 0.125 = 2
]
- Подставим все результаты в формулу:
[
b^2 = 64 + 100 - 2 = 162
]
Шаг 5: Найдем ( AC )
Теперь нам остается вычислить длину стороны ( AC ):
[
AC = \sqrt{162}
]
Шаг 6: Упростим
Скорректируем значение:
[
\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}
]
Ответ
Итак, длина стороны ( AC ) составляет ( 9\sqrt{2} ) или примерно ( 12.73 ) в десятичном представлении.
