Для решения задачи начнем с понимания принципа работы неравномерного двоичного кода, который удовлетворяет условию Фано. Условие Фано гласит, что кодовые слова должны быть такими, что ни одно из них не является префиксом другого. Это позволяет правильно декодировать сообщения без необходимости использования разделителей.
Даны коды для трех букв:
- Буква 1:
1
- Буква 2:
01
- Буква 3:
001
Эти коды имеют следующие длины:
- Длина кода первой буквы: 1 символ
- Длина кода второй буквы: 2 символа
- Длина кода третьей буквы: 3 символа
Найдем длину кодов для остальных букв:
По условиям задачи, для остальных четырех букв коды имеют одинаковую длину. Пусть ( L ) — длина кодов для оставшихся четырех букв.
Общее количество букв:
У нас имеется 7 букв, для которых:
- 3 буквы имеют разные длинные коды.
- 4 буквы имеют одинаковую длину ( L ).
Формула для минимальной общей длины кодов:
Общая длина кодов будет равна сумме длин кодов для всех букв:
[
\text{Общая длина} = \text{длина кода 1} + \text{длина кода 2} + \text{длина кода 3} + 4 \times L
]
Подставляем известные длины:
[
\text{Общая длина} = 1 + 2 + 3 + 4L = 6 + 4L
]
Минимизация длины кодов:
Чтобы минимизировать суммарную длину кодов, нам нужно выбрать минимально возможное значение для ( L ), при этом соблюдая условие Фано.
Наименьшая длина ( L ), которая гарантирует, что коды не будут пересекаться (не будут префиксами друг друга), — это 4, так как мы уже использовали 3 кода, длиной до 3 символов, и для нового кода необходимо, чтобы он начинался с нового символа.
Подставим значение ( L = 4 ):
[
\text{Общая длина} = 6 + 4 \times 4 = 6 + 16 = 22
]
Ответ:
Таким образом, минимальная суммарная длина всех 7 кодовых слов равна 22.
